[論文レビュー] Extended Conditional G-Expectations and Related Stopping Times

Mingshang Hu, Shigē Péng|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、G期待値の理論を拡張し、古典的な L_G^1 空間を超える確率変数に対して、単調列の極限を用いて時不変性を持つ条件付き期待値を定義する。主な貢献は、L_G^{1*} および L_G^{1**} というより大きな定義域への厳密な拡張であり、動的整合性を保ちつつ、G期待値におけるオプション停止定理の適用を可能にする。

ABSTRACT

In this paper we extend the definition of time conditional G-expectations $\mathbb{\hat{E}}_{t}[\cdot]$ to a larger domain on which the dynamical consistency still holds. In fact we can consistently define, by taking the limit, the time conditional expectations for each random variable $X$ which is the downward limit (resp. upward limit) of a monotone sequence $\{X_{i}\}$ in $L_{G}^{1}(Ω)$. To accomplish this procedure, some careful analysis is needed. Moreover, we give a suitable definition of stopping times and obtain the optional stopping theorem. We also provide some basic and interesting properties for the extended conditional G-expectations.

研究の動機と目的

• 停止過程などの重要な確率変数を含まない古典的 L_G^1 空間におけるG期待値の限界を解消する。
• L_G^1(Ω) 内の単調列の下限および上限としての定義域への時条件付きG期待値の拡張。
• 拡張されたフレームワークにおいて、動的整合性（時不変性）が保たれることを保証する。
• 停止時刻を定義し、拡張されたG期待値フレームワーク下でオプション停止定理を証明する。
• キーンティアン・アンプルティ（Knightian不確実性）およびパス依存的ボラティリティを伴う非線形期待値理論の強固な理論的基盤を構築する。

提案手法

• L_G^{1*}(Ω) を、L_G^1(Ω) 内の列のほとんど確実な下限として表される確率変数の空間として定義する。
• L_G^{1**}(Ω) を、L_G^{1*}(Ω) 内の列のほとんど確実な上限として表される確率変数の空間として定義する。
• 単調列 X_n → X に対して、極限過程を用いて条件付きG期待値 Ẽ_t[⋅] を拡張する： Ẽ_t[X] = lim Ẽ_t[X_n]。
• 収束補題を用いて、拡張された条件付き期待値が適切に定義されており、近似列に依存しないことを証明する。
• Gフレームワークに適合する新しいクラスの停止時刻を導入し、拡張されたG期待値フレームワーク下でオプション停止定理を証明する。
• 拡張された条件付き期待値に対して、単調性、単調列に沿った連続性、および塔の性質といった重要な性質を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時不変性を持つG期待値を L_G^1(Ω) を超えて一貫して拡張することは可能か？
• RQ2 拡張されたG期待値フレームワーク下で、停止時刻をどのように定義し、オプション停止定理を証明できるか？
• RQ3 極限過程による拡張された条件付き期待値が適切に定義されるための必要十分条件は何か？
• RQ4 停止連続過程（例：出口時刻 τ における停止過程 X_τ）から生じる確率変数を、拡張されたフレームワークがどのように扱えるか？
• RQ5 L_G^{1**}(Ω) の拡張空間において、保存される性質（例：単調性、塔の性質）は何か？

主な発見

• 任意の X ∈ L_G^{1*}(Ω) または X ∈ L_G^{1**}(Ω) に対して、拡張された条件付きG期待値 Ẽ_t[X] は、単調列に沿った Ẽ_t[X_n] の極限として適切に定義される。
• 拡張された条件付き期待値は単調性を保つ：X ≤ Y q.s. ならば、Ẽ_t[X] ≤ Ẽ_t[Y] q.s. が成り立つ。
• 拡張された条件付き期待値は単調列に沿って連続である：X_n ↓ X in L_G^{1*}(Ω) ならば、Ẽ_t[X_n] ↓ Ẽ_t[X] q.s. が成り立つ。
• 塔の性質が成り立つ：すべての X ∈ L_G^{1**}(Ω) に対して Ẽ_s[Ẽ_t[X]] = Ẽ_{s∧t}[X] が成り立つ。
• オプション停止定理は、拡張されたGフレームワークにおける停止時刻に対して成り立つ。これにより、非線形マルチンゲールの利用が可能になる。
• 拡張されたフレームワークは、L_G^1(Ω) には属さないが L_G^{1**}(Ω) に属する確率変数（例：出口時刻 τ における停止過程 X_τ）を含めることが可能になる。