[論文レビュー] Extended degenerate Stirling numbers of the second kind and extended degenerate Bell polynomials

Taekyun Kim, Dae San Kim|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2017

Advanced Mathematical Identities参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、パラメータ $ r $ と退化パラメータ $ \lambda $ を用いて、古典的および退化スターリング数を一般化する拡張された退化第二種スターリング数と、それに対応する拡張された退化ベル多項式を導入する。明示的公式、母関数、漸化式を導出し、組合せ的恒等式および母関数の操作を用いて、第一種スターリング数およびベル多項式との関係を確立する。

ABSTRACT

In a recent work, the degenerate Stirling polynomials of the second kind were studied by T. Kim. In this paper, we investigate the extended degenerate Stirling numbers of the second kind and the extended degenerate Bell polynomials associated with them. As results, we give some expressions, identities and properties about the extended degener- ate Stirling numbers of the second kind and the extended degenerate Bell polynomials.

研究の動機と目的

• 追加のパラメータ $ r $ を用いて、第二種スターリング数の退化版を一般化すること。
• 新しく導入された拡張された退化第二種スターリング数に関連する拡張された退化ベル多項式を定義し、それらを研究すること。
• これらの新しい特殊数および多項式の明示的公式と漸化式を導出すること。
• 母関数および第一種スターリング数を用いて、拡張された退化数と古典的または退化された組合せ的数列との関係を確立すること。

提案手法

• 母関数 $ \frac{1}{k!}(1+\lambda t)^{r/\lambda}((1+\lambda t)^{1/\lambda}-1)^k $ を用いて、拡張された退化第二種スターリング数を定義する。
• 対数級数とベル多項式を含む母関数の展開を用いて、係数に関する恒等式を導出する。
• $ \lambda $-退化下降階乗と $ r $-シフト母関数を用いて、古典的恒等式を拡張する。
• 拡張された退化ベル多項式を $ x^k S_{2,r}(n+r,k+r|\lambda) $ の和として表現し、新しいスターリング数と関連付ける。
• 前進差分作用素 $ \Delta^k r^m $ を用いて、係数を第一種スターリング数の形に表現する。
• 多変数母関数展開における係数比較により、漸化式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第二種スターリング数の退化版を、追加のパラメータ $ r $ を用いてどのように拡張し、母関数および組合せ的性質を一般化できるか？
• RQ2 拡張された退化第二種スターリング数 $ S_{2,r}(n+r,k+r|\lambda) $ の明示的表現は、古典的および退化スターリング数のどのようになるか？
• RQ3 拡張された退化ベル多項式は、拡張された退化スターリング数とどのように関係し、それらを支配する母関数の恒等式は何か？
• RQ4 拡張された退化ベル多項式を支配する漸化式は、退化ベル多項式および第一種スターリング数のどのようになるか？
• RQ5 拡張された退化数は、$ \lambda \to 0 $ および $ r \to 0 $ の極限で、どのように古典的または退化形に還元されるか？

主な発見

• 拡張された退化第二種スターリング数は、公式 $ S_{2,r}(n+r,k+r|\lambda) = \sum_{l=k}^{n} \sum_{m=0}^{n-l} \binom{n}{l} r^m \lambda^{n-m-l} S_1(n-l,m) S_{2,\lambda}(l,k) $ で与えられ、古典的および退化スターリング数と関連づけられる。
• 拡張された退化ベル多項式は、$ Bel_{n,\lambda}^{(r)}(x) = \sum_{k=0}^{n} \sum_{m=0}^{k} \binom{n}{k} Bel_{n-k,\lambda}(x) \lambda^{k-m} r^m S_1(k,m) $ を満たし、退化ベル多項式を含む再帰的構造を示す。
• 母関数 $ \sum_{n=0}^\infty Bel_{n,\lambda}^{(r)}(x) \frac{t^n}{n!} = (1+\lambda t)^{r/\lambda} e^{x((1+\lambda t)^{1/\lambda}-1)} $ は、拡張された退化ベル多項式を完全に特徴づける。
• 拡張された退化ベル多項式の閉形式は $ Bel_{n,\lambda}^{(r)}(x) = e^{-x} \sum_{m=0}^{n} \lambda^{n-m} S_1(n,m) \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} (k+r)^m $ で与えられ、指数母関数および一般化されたモーメントと関連づけられる。
• 拡張された退化スターリング数は畳み込み恒等式 $ \binom{m+k}{m} S_{2,r}(n+r,m+k+r|\lambda) = \sum_{l=m}^{n-k} \binom{n}{l} S_{2,r}(l+r,m+r|\lambda) S_{2,\lambda}(n-l,k) $ を満たし、古典的畳み込み恒等式を一般化する。
• $ \lambda \to 0 $ の極限において、拡張された退化スターリング数は古典的 $ r $-スターリング数第二種に還元される：$ \lim_{\lambda \to 0} S_{2,r}(n+r,k+r|\lambda) = S_{2,r}(n+r,k+r) $。