[論文レビュー] Extended Distributive Law: Co-wreath over co-rings

Laiachi El Kaoutit|ArXiv.org|Dec 28, 2006

Rings, Modules, and Algebras参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、可換環上のユニタリ双モジュラーの2圏において、共ワーレス（拡張された分配則）の基礎的理論を構築し、基本環上のテンソル積を用いた共ワーレスおよび余モジュールの同等定義を提供する。因子コリング上の余モジュール圏とワーレス由来コリング上の余モジュール圏の間の随伴を確立し、環拡大上のワーレス理論の双対を提示することで、エンティング構造を介した非可換ねじれテンソル積の構成に体系的な枠組みを提供する。

ABSTRACT

A basic theory of cowreath or extended distributive laws in the bicategory of unital bimodules, is deciphered. Precisely, we give in terms of tensor product over a scalar base ring, a simplest and equivalent definition for cowreath over coring and for comodule over cowreath. An adjunction connecting the category of comodules over the factor coring and the category of comodules over the coring arising from the cowreath products is also given. The dual notions i.e. wreaths over rings extension and their modules are included.

研究の動機と目的

• 基本環 K 上のテンソル積を用いたユニタリ双モジュラーの2圏における共ワーレスおよび余モジュールの簡略化された同等定義を構築すること。
• 因子コリング上の余モジュール圏とコワーレス積から生じるコリング上の余モジュール圏の間の随伴を確立すること。
• 環拡大上のワーレス理論を双対化し、分配則を介したねじれテンソル積代数の構成のための枠組みを提供すること。
• 分配則の概念をコモノイダル設定に一般化し、特にコリングおよびエンティング構造の文脈で扱うこと。
• 因子コアルゲブラのエイレンバーグ＝ムーア圏からコワーレス誘導コリングのエイレンバーグ＝ムーア圏へのモノイダル関手を構成することにより、可換から非可換設定への構成を可能にすること。

提案手法

• 論文は、1-セルと2-セルが整合性条件を満たすように、2圏 Bim におけるコワーレスを、コモノイドのエイレンバーグ＝ムーア2圏におけるコモノイドとして定義する。
• カテゴリカル構成を避けて、明示的な双モジュラーおよび双線形写像構造を用いることで、基本環 K 上のテンソル積によるコワーレスの同等定義を提示する。
• エンティング構造から生じるコリングに理論を適用し、因子コアルゲブラとコワーレス誘導コリングのエイレンバーグ＝ムーア圏の間のモノイダル関手を構成する。
• 余モジュールは、基本環上のテンソル積を用いて再定義され、コ作用の明示的整合性条件が与えられる。
• コワーレス積は、基本コリングとコワーレス構造のテンソル積として与えられる双モジュラーをもつコリングとして構成される。
• 特に作用とコ作用の整合性を通じて、コワーレスの構造写像を用いて定義される関手を通じて、余モジュール圏の間の随伴を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コリング上の共ワーレスの概念は、高階圏的構成を避けて、基本環 K 上のテンソル積を用いてどのように同等に特徴付けられるか？
• RQ2 因子コリング上の余モジュール圏とコワーレス積から生じるコリング上の余モジュール圏の間の正確な関係は何か？
• RQ3 環拡大上のワーレス理論の双対理論は、どのように体系的に展開可能か？特にねじれテンソル積代数との関係において。
• RQ4 コワーレス構造が、関連コリングのエイレンバーグ＝ムーア圏の間でモノイダル関手を誘導する条件は何か？
• RQ5 エンティング構造は、可換な基本データから非可換な共ワーレスの例を構成する際に果たす役割は何か？

主な発見

• コリング上の共ワーレスは、2圏的道具を用いずに、基本環 K 上のテンソル積を用いて同等に定義され、2カテゴリカルな道具に依存しない明示的な代数的特徴付けが得られる。
• 因子コリング上の余モジュール圏とコワーレス積から生じるコリング上の余モジュール圏の間の随伴が確立され、それらのモジュール構造が結びつけられる。
• コワーレス積が、基本コリングとコワーレス構造のテンソル積として与えられる双モジュラーをもつ新しいコリングを生じることを示し、適切に定義されたコ乗法と余単位が存在することが確認される。
• コリングがエンティング構造から生じる場合、因子コアルゲブラのエイレンバーグ＝ムーア圏からコワーレス誘導コリングのエイレンバーグ＝ムーア圏へのモノイダル関手が構成される。
• 双モジュラー $X \bigotimes_A Y$ が $R \bigotimes_A T$ 上の双モジュラー構造をどのように引き継ぐかの基準が提示され、コワーレス構造と整合する左および右作用の適合性に基づく。
• 環拡大上のワーレス理論の双対理論が展開され、ねじれテンソル積代数がワーレスの例として特徴づけられ、既知の文献における構成を一般化する。