[論文レビュー] Extended letterplace correspondence for nongraded noncommutative ideals and related algorithms

Roberto La Scala|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2012

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非可換多項式環の非次数的両側イデアルへletterplace対応を拡張するために、L-飽和を導入し、同次的可換多項式を用いた非同次的非可換Gröbner基底の計算を可能にした。この手法により、標準的な可換アルゴリズムを用いて可換および非可換Gröbner基底の計算を統一的に扱えるようになり、MapleおよびSingularにおける実験的実装により、実用性と効率性が確認された。

ABSTRACT

Let $K\ < x_i\ >$ be the free associative algebra generated by a finite or countable number of variables $x_i$. The notion of "letterplace correspondence" introduced in [1,2] for the graded (two-sided) ideals of $K\ < x_i\ >$ is extended in this paper also to the nongraded case. This amounts to the possibility of modelizing nongraded noncommutative presented algebras by means of a class of graded commutative algebras that are invariant under the action of the monoid $\mathbb N$ of natural numbers. For such purpose we develop the notion of saturation for the graded ideals of $K\ < x_i,t\ >$, where $t$ is an extra variable and for their letterplace analogues in the commutative polynomial algebra $K[x_{ij},t_j]$, where $j$ ranges in $\mathbb N$. In particular, one obtains an alternative algorithm for computing inhomogeneous noncommutative Gröbner bases using just homogeneous commutative polynomials. The feasibility of the proposed methods is shown by an experimental implementation developed in the computer algebra system Maple and by using standard routines for the Buchberger algorithm contained in Singular. References [1] La Scala, R.; Levandovskyy, V., Letterplace ideals and non-commutative Gröbner bases. J. Symbolic Comput., 44 (2009), 1374--1393. [2] La Scala, R.; Levandovskyy, V., Skew polynomial rings, Gröbner bases and the letterplace embedding of the free associative algebra. J. Symbolic Comput., 48 (2013), 110--131

研究の動機と目的

• 自由結合代数における次数的でない両側イデアルへのletterplace対応の拡張を図ること。
• 拡張された自由代数 $ K\langle X, t\rangle $ における次数的イデアルおよびそれらのletterplace類似物に対する飽和理論を構築すること。
• すべての $ K\langle X\rangle $ 内のイデアルと $ K[\bar{X} \times \mathbb{N}^*] $ 内の $ L $-飽和されたletterplaceイデアルとの間の全単射を確立し、アルゴリズム的計算を可能にすること。
• 同次的可換多項式のみを用いて非同次的非可換Gröbner基底を計算する代替アルゴリズムを提供すること。
• MapleおよびSingularにおける実験的実装を通じて、本手法の実用的妥当性を示すこと。

提案手法

• letterplace代数 $ K[X \times \mathbb{N}^*] $ における場所インデックスに $ \mathbb{N} $ のモノイド作用を導入し、多重次数を定義する。
• 場所多重次数における多重線形要素のみを含む飽和性を用いて、letterplaceイデアルの $ L $-飽和を定義する。
• $ \bar{X} = X \cup \{t\} $ とおくとき、$ K\langle X\rangle $ 内のすべての両側イデアルと $ K[\bar{X} \times \mathbb{N}^*] $ 内の $ L $-飽和された多重次数付きイデアルとの間の全単射を構成する。
• letterplace対応を用いて、非可換イデアルをシフト作用素に関して不変な可換イデアルに写像する。
• Singularにおける標準的なBuchbergerルーチンを用いてアルゴリズムを実装し、同次的可換Gröbner基底計算を活用してMapleでもテストする。
• Hecke代数、普遍包あらゆる代数、Temperley-Lieb代数における非同次関係の非可換Gröbner基底を計算するために本手法を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換イデアルが自然に多重次数を持たない非次数的イデアルへ、letterplace対応をどのように拡張できるか。
• RQ2 非次数的イデアルの構造を保つために必要な十分な飽和条件は何か。
• RQ3 本拡張された対応を用いて、同次的可換多項式のみを用いて非同次的非可換Gröbner基底を計算できるか。
• RQ4 letterplace設定においてシフト作用素を適用する計算コストは、標準的な非可換Gröbner基底アルゴリズムと比べてどの程度か。
• RQ5 既存の可換コンピュータ代数システムは、本手法を用いて非可換Gröbner基底をどの程度まで計算可能にするか。

主な発見

• 拡張されたletterplace対応により、$ K\langle X\rangle $ 内のすべての両側イデアルと $ K[\bar{X} \times \mathbb{N}^*] $ 内の $ L $-飽和されたletterplaceイデアルとの間の全単射が確立され、非次数的イデアルの完全なアルゴリズム的取り扱いが可能になった。
• 本手法により、同次的可換多項式のみを用いて非同次的非可換Gröbner基底を計算でき、同次的および非同次的ケースの統一的取り扱いが可能になった。
• MapleおよびSingularにおける実験的結果から、FreeGBasisアルゴリズムの標準的バージョンは、特に lie7 のような複雑な例では、基本的バージョンよりも一般的に効率的であることが示された。
• lie7 や heckeD、g3332 のような例では、次数上限が $ \geq 2d-1 $ のとき、アルゴリズムが完全性を示し、飽和の計算的証明が得られた。
• Singularの 'std' 関数における heckeAd15, heckeEd10, teli9d9 の実行時間はそれぞれ 0.26, 0.34, 1.01 秒であり、カーネル最適化実装において実用的であることが示された。
• 本手法は計算的に実行可能であり、標準的な可換コンピュータ代数システムを用いて非可換計算の新たな展開を可能にした。