[論文レビュー] Extended Particles and the Exterior Calculus

R.W. Tucker|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2016

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、微分形式の外微分形式の枠組みを用いて、点粒子、ストリング、膜といった古典的相対論的拡張対象を統一的かつゲージ不変に定式化する手法を提示する。インデックスフリーの微分幾何学と再パラメータ化不変作用の導入により、運動方程式、制約、境界条件を内在的に導出する。この形式は高次元の力学を単純化し、内在的スピンや位相的構造を持つ系への自然な一般化を可能にする。

ABSTRACT

These notes were delivered as a series of NIMROD lectures at the Rutherford Appleton Laboratory by the author in February 1976 (RL-76-022). The purpose of these lectures was primarily two-fold: to discuss the classical theory of free point particles, free strings and free membranes from a unified viewpoint; and to present in the process of doing this the rudiments of an intrinsic geometrical calculus that the author has found of immense value in investigating these systems. It is shown how the equations of motion for such classically extended relativistic systems arise in a very simple manner from a principle of stationary action and furthermore how the boundary conditions for finite systems may be derived in a gauge invariant way. Momenta are naturally introduced and the primary constraints that exist in a Hamiltonian description follow simply. Calculations may proceed in an index-free manner until components are required. It is at this stage that one can, if one desires, impose gauge conditions and remove non-independent degrees of freedom. Such methods can be applied in any spacetime of any dimension and metric, and examples are given throughout.

研究の動機と目的

• 古典的相対論的拡張系（点粒子、ストリング、膜）を外微分形式を用いて統一的かつ幾何学的に内在的に記述すること。
• 座標表現に依存しない形式を確立し、動的特性における再パラメータ化およびゲージ不変性を保証すること。
• 運動方程式、制約、境界条件が静的作用原理から自然に導かれる仕組みを示すこと。
• この形式がスピンや内部対称性を持つ系への一般化にどのように寄与できるかを検討すること。
• de Rham理論とホッジ双対性を用いて、将来の量子場理論および位相的場理論への応用の基盤を築くこと。

提案手法

• 時空の部分多様体上での積分を用いて、拡張対象の力学を外微分形式で定式化する。
• 時空計量の引き戻しに基づく再パラメータ化不変作用関数に静的作用の原理を適用する。
• ホッジスター作用素と双対性を用いて、異なる次数の形式を関連付け、制約や運動量の幾何的取り扱いを可能にする。
• 作用の変分を用いて運動方程式を導出し、埋め込み関数に関する偏微分方程式を得る。
• 成分が必要な場合にのみゲージ条件を課し、計算中に内在的な幾何的構造を保持する。
• 具体的な応用例として、脈動する球対称膜の解析を行い、ヤコビ楕円関数を用いて解ける形にすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 座標選択やゲージ依存パrametrizationに依存しない形で、相対論的拡張対象の力学をどのように定式化できるか。
• RQ2 外微分形式が、点粒子、ストリング、膜を統一的に扱う運動方程式および制約を導出する役割を果たす仕組みは何か。
• RQ3 この形式が、高次元対象やス pin や内部対称性といった内在的幾何的構造を自然に扱えるか。
• RQ4 この枠組み内で、ゲージ不変に境界条件と運動量がどのように導かれるか。
• RQ5 この形式が、拡張系の量子化および位相的カレントの記述に与える影響は何か。

主な発見

• 拡張対象の運動方程式は、微分形式を用いた再パラメータ化不変作用原理から明確に導出される。
• 球対称膜の場合、力学は解ける常微分方程式に簡略化される：$ \frac{R^{2}}{\sqrt{1 - \dot{R}^{2}}} = \text{constant} $、解はヤコビ楕円関数で与えられる。
• 脈動する球対称膜の半径は、$ R(\tau) = \left(\frac{4E}{b}\right)^{1/4} \text{cn}\left(\gamma - (4Eb)^{1/4}\tau \big| \frac{1}{\sqrt{2}}\right) $ で与えられ、ここで $ \gamma = K(1/\sqrt{2}) $ である。
• 形式はゲージ固定を事前に行わずに、ハミルトニアン形式において運動量と一次制約を自然に導入する。
• 外微分形式の使用により、成分計算を必要なときまで延期でき、計算の複雑さを最小限に抑えることができる。
• この枠組みは、拡大された位相空間多様体を用いてスピノル自由度や内部対称性を組み込む道筋を示唆している。