[論文レビュー] Extended PID Control of Nonlinear Uncertain Systems

Cheng Zhao, Lei Guo|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2019

Extremum Seeking Control Systems参考文献 26被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、高次アフィン非線形不確実系に対する拡張型PID制御フレームワークを提案し、純フィードバック形式などの特別な系構造を必要とせずに、グローバルまたはセミグローバルな指数的安定化を実証している。制御ゲインの非有界な多様体を用いることで、著しい不確実性および非線形性下でも、制御誤差が指数的にゼロに収束することを保証する。

ABSTRACT

Since the classical proportional-integral-derivative (PID) controller is the most widely and successfully used ones in industrial processes, it is of vital importance to investigate theoretically the rationale of this ubiquitous controller in dealing with nonlinearity and uncertainty. Recently, we have investigated the capability of the classical PID control for second order nonlinear uncertain systems and provided some analytic design methods for the choices of PID parameters, where the system is assumed to be in the canonical form of cascade integrators. In this paper, we will consider the natural extension of the classical PID control for high order affine-nonlinear uncertain systems. In contrast to most of the literature on controller design of nonlinear systems, we do not require such special system structures as pure-feedback form, thanks to the strong robustness of the extend PID controller. To be specific, we will show that under some suitable conditions on nonlinearity and uncertainty of the systems, the extended PID controller can globally(or semi-globally) stabilize the nonlinear uncertain systems, and at the same time the regulation error converges to $0$ exponentially fast, as long as the control parameters are chosen from an open unbounded parameter manifold.

研究の動機と目的

• 古典的PID制御の非線形・不確実系におけるロバスト性と有効性を、2次以降のケースにまで理論的に裏付けること。
• 古典的PID制御を、不確実性を有する高次単入力単出力（SISO）アフィン非線形系に拡張すること。
• 拡張型PIDコントローラが、正準形式や純フィードバック構造を要件としない状況で、グローバルまたはセミグローバルな指数的安定化を保証する条件を確立すること。
• 微分信号の測定が不可能な状況における課題に対処するため、ハイゲイン微分観測器を組み込むこと。
• コントローラの性能が、広範かつ非有界なゲインパラメータ多様体においてもロバストであることを示すことにより、実用的チューニングの柔軟性を高めること。

提案手法

• n次系に対して、(n+1)次元のパラメータ多様体として拡張型PIDコントローラを定式化し、古典的PIDを高次動的系に一般化する。
• 微分同相写像による座標変換を用いてシステム構造を解析し、純フィードバックや級連積分器形式といった制限的仮定を回避する。
• 直接測定が不可能な場合の制御誤差の微分を推定するために、ハイゲイン微分観測器を採用する。
• リャプノフに基づく安定性解析を適用し、ややいなやみな非線形成長条件のもとで、制御誤差が指数的にゼロに収束することを証明する。
• コントローラパラメータが開集合かつ非有界な多様体内にある限り、グローバルまたはセミグローバル安定性が保証されることを確立する。
• システム非線形性および不確実性に関する構造的仮定（A）、（B）、（C）に依存し、変換の逆ヤコビアンにおける超線形成長条件を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的PID制御は、2次以降の非線形不確実系に対し、理論的に拡張可能か？
• RQ2 システム非線形性および不確実性にどのような条件が課されると、拡張型PIDコントローラがグローバルまたはセミグローバルな指数的安定化を達成できるか？
• RQ3 純フィードバックや級連積分器構造といった特別な系形式を要件としない程度に、コントローラは十分にロバストか？
• RQ4 微分信号の測定が不可能な状況でハイゲイン微分観測器を組み込むと、安定性および収束特性にどのような影響を与えるか？
• RQ5 非有界なパラメータ多様体が、コントローラのロバスト性および実用的チューニング性を保証する役割を果たす理由は何か？

主な発見

• 拡張型PIDコントローラは、ややいなやみな構造的仮定のもとで、高次アフィン非線形不確実系に対してグローバルまたはセミグローバルな指数的安定化を保証する。
• コントローラパラメータが開かつ非有界な多様体から選択されれば、任意の初期状態に対して制御誤差が指数的にゼロに収束する。
• 微分同相写像による正準形式への変換が可能でない場合でも、拡張型PID構造の内在的ロバスト性のおかげで、本手法は有効である。
• 誤差の微分が測定不能であっても、ハイゲイン微分観測器のおかげで、同じ指数的安定性および収束結果が得られる。
• 仮定（C）における超線形成長条件は必須である。これを弱めた（例：対数的成長）と、有限時間内に解が発散（finite escape time）し、グローバル安定性が破綻する。
• 反例により、逆ヤコビアンの成長条件を超線形より弱く（例：対数的）に緩めると、有界な初期状態およびコントローラゲインのもとでも、解が有限時間に発散することが示された。