[論文レビュー] Extended Probabilities: Mathematical Foundations

Mark Burgin|ArXiv.org|Dec 24, 2009

Probability and Statistical Research参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、確率関数が正および負の値を取ることを許容する数学的枠組みとして拡張確率を導入し、負の確率のための厳密な公理的基盤を提供する。古典的確率は、この拡張システム内の正の部分として位置づけられ、理論物理学および量子力学における長年の解釈的・数学的懸念を解決する。

ABSTRACT

There are important problems in physics related to the concept of probability. One of these problems is related to negative probabilities used in physics from 1930s. In spite of many demonstrations of usefulness of negative probabilities, physicists looked at them with suspicion trying to avoid this new concept in their theories. The main question that has bothered physicists is mathematical grounding and interpretation of negative probabilities. In this paper, we introduce extended probability as a probability function, which can take both positive and negative values. Defining extended probabilities in an axiomatic way, we show that classical probability is a positive section of extended probability.

研究の動機と目的

• 負の確率に関する物理学における長年の懐疑的見解を、数学的に整合性のある基盤を提供することで解消すること。
• 量子力学および統計物理学において使われてきた負の確率に関する解釈的および形式的問題を解決すること。
• 古典的確率が特別な場合として含まれる一般化された確率枠組みを構築すること。
• 拡張確率の公理的定義を提示し、一貫性および数学的整合性を保証すること。
• 確率論の基礎的原則に反しないように、理論的モデルにおける負の確率の使用を可能にすること。

提案手法

• σ-代数上の関数として拡張確率を定義し、正および負の実数値をとることを許容する。
• 負の値を許容するようにコルモゴロフの公理を一般化した、拡張確率の公理的体系を導入する。
• 古典的確率が拡張確率の正の部分であることを示し、すべての値が非負であることを意味する。
• 測度論的基礎を用いて、可測空間上の拡張確率測度を形式化する。
• 線形結合および確率論に整合する演算に関して閉じていることを示す。
• 確率値が負であっても、互いに素な事象の上での加法性といった重要な性質が保持されることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 負の確率が、矛盾や不整合を避ける形で数学的に根拠を持たせることができるか？
• RQ2 古典的確率が特別な場合として含まれるよう、拡張確率をどのように形式的に定義できるか？
• RQ3 論理的整合性を保ちつつ、確率に負の値を許容するための公理的構造は何か？
• RQ4 拡張確率が古典的確率を一般化するにあたり、解釈の明確さを損なわずにどのように一般化できるか？
• RQ5 負の確率が形式的に行われてきた物理理論への応用は、どのように実現できるか？

主な発見

• 拡張確率は、コルモゴロフの公理を負の値を許容する形に一般化した公理的体系によって形式的に定義される。
• 古典的確率が拡張確率枠組み内の正の部分であることが示され、これは拡張確率の部分集合であることを意味する。
• 確率値が負であっても、互いに素な事象の上での加法性が保持される。
• 測度論的構成を通じて、負の確率の数学的整合性が確立される。
• このモデルは、量子力学および他の物理理論における負の確率の使用のための厳密な基盤を提供する。
• 拡張確率は実数上のベクトル空間をなしており、代数的演算および線形結合が可能である。