[論文レビュー] Extended probability theory and quantum mechanics I: non-classical events, partitions, contexts, quadratic probability spaces

Jiří Souček|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2010

Probability and Statistical Research被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、標本空間 Ω の部分集合としての事象を再定義することによって、拡張確率理論（EPT）を導入する。ここで、同じ部分集合に属する要素は区別不能である。非可換性は、事象の部分集合構造が衝突する場合に生じ、文脈（互いに可換な事象の最大集合）が古典的確率論を回復する。主な貢献は、2次確率空間の定式化であり、これはコルモゴロフの枠組みを一般化し、量子力学をマルコフ過程としてモデル化する基盤を提供する。これによりアインシュタインの、古典的確率論を超えた確率的理論としてのQMのビジョンが実現される。

ABSTRACT

In the paper the basic concepts of extended probability theory are introduced. The basic idea: the concept of an event as a subset of Ωis replaced with the concept of an event as a partition. The partition is any set of disjoint non-empty subsets of Ω(i.e. partition=subset+its decomposition). Interpretation: elements inside certain part are indistinguishable, while elements from different parts are distinguishable. There are incompatible events, e.g {{e1},{e2}} and {e1,e2}. This is logical incompatibility analogical to the impossibility to have and simultaneously not to have the which-way information in the given experiment. The context is the maximal set of mutually compatible events. Each experiment has associated its context. In each context the extended probability is reduced to classical probability. Then the quadratic representation of events, partitions and probability measures is developed. At the end the central concept of quadratic probability spaces (which extend Kolmogorov probability spaces) is defined and studied. In the next paper it will be shown that quantum mechanics can be represented as the theory of Markov processes in the extended probability theory (Einstein's vision of QM).

研究の動機と目的

• 標本空間 Ω の部分集合としての事象ではなく、部分集合としての再定義によって、古典的確率論を一般化する拡張確率理論（EPT）の基礎的枠組みを構築すること。
• 特に量子実験における「どの道を通ったか」の情報に関連して、量子現象を解釈するために不可欠な非可換性と文脈の概念を導入すること。
• コルモゴロフの確率モデルを拡張する2次確率空間を構築し、量子力学を確率的枠組み内で表現可能にする。

提案手法

• 事象は、同じ部分集合に属する基本事象が区別不能である標本空間 Ω の部分集合として再定義される。
• 非可換な事象は、同じ要素の部分集合構造が衝突するため、同じ文脈に同時に存在できないものとして定義される。例えば、ある部分集合では e16 と e20 を区別するが、別の部分集合ではそれらを区別不能とみなす場合など。
• 文脈は、互いに可換な部分集合の最大集合として定義され、その中では古典的確率論が成立する。
• 部分集合への演算 (+) を通じて2次構造が導入され、事象と確率測度が2次的表現をとる。
• 確率測度は加法的のまま維持されるが、部分集合の分解に基づく2次代数的構造が事象空間に与えられる。
• この枠組みは2次確率空間として形式化され、コルモゴロフの確率空間を一般化し、以降の研究で量子力学をマルコフ過程として表現する基盤を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非古典的特徴（非可換性や文脈依存性）を捉えるために、確率論における事象をどのように再定義できるか？
• RQ2 部分集合構造は、例えば「どの道を通ったか」の情報のような量子力学的現象をどのようにモデル化するか？
• RQ3 確率測度の加法性を保ちつつ、2次的事象構造を支持する確率論はどのように構築できるか？
• RQ4 文脈は拡張された枠組み内でどのように古典的確率論を回復させ、実験的実現可能性と関係するか？
• RQ5 この拡張確率枠組み内で、量子力学をマルコフ過程として表現できるか。これによりアインシュタインの、QMを古典的確率論を超えた確率的理論としてのビジョンが実現可能か？

主な発見

• 事象は、同じ部分集合に属する要素が区別不能で、異なる部分集合に属する要素は区別可能な標本空間 Ω の部分集合として再定義される。
• 非可換な事象は、2つの部分集合が同じ要素の分割を異なる方法で行う場合に生じる。例えば、ある部分集合では e16 と e20 を区別するが、別の部分集合ではそれらを区別不能とみなす場合など。
• 文脈は、互いに可換な部分集合の最大集合として定義され、各文脈内では拡張確率論は古典的確率論に還元される。
• この枠組みは、部分集合の分解に基づく2次代数的構造を事象に与える2次確率空間を導入する。
• 確率測度は加法的のまま維持されるが、部分集合の2次構造により、事象代数は非線形となる。これは、量子測度理論（QMT）が加法的事象構造を用いるのとは異なり、EPTが明確に区別される。
• この構築は、拡張確率論において量子力学をマルコフ過程としてモデル化する基盤を提供し、アインシュタインのQMを確率的理論としてのビジョンを実現する。