[論文レビュー] Extended real Clifford-Dirac algebra and bosonic symmetries of the Dirac equation with nonzero mass

В. М. Симулик, I.Yu. Krivsky|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2009

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、8成分スピンダーを用いて256次元の実的クリフォード・ディラック代数表現を導入し、標準的な4成分ディラック形式を拡張する。$ ext{Cl}^ ext{R}(0,8)$および$ ext{Cl}^ ext{R}(1,7)$の実行列表現を構築し、質量のあるディラック方程式に対する新しいボソン的対称性を可能にするとともに、特にスピン3/2粒子に対して、高スピン方程式への一般化を図る。

ABSTRACT

Contemporary presentation of the version 1 demonstrates briefly the development of our investigations and our future goals. The improved free of difficulties in interpretation and printing errors version is presented. The 256-dimensional gamma matrix representations of the Clifford algebra and corresponding representations of SO(10) and SO(1,9) algebras over the field of real numbers are introduced. This turned out to be possible in the space of eight-component spinors, and not for the ordinary four-component Dirac spinors. The proposed mathematical objects allow the generalization of our results, obtained earlier for the standard Dirac equation, for the equations of higher spin and, especially, for the equations, describing the particles with spin 3/2.

研究の動機と目的

• 4成分スピンダーを超えた高次元スピンダー空間における実的クリフォード・ディラック代数の一般化を図ること。
• 8×8ガンマ行列を用いて、$\text{Cl}^\text{R}(0,8)$および$\text{Cl}^\text{R}(1,7)$の256次元実表現を構築すること。
• 拡張された代数的枠組みにおいて、質量のあるディラック方程式のボソン的対称性の研究を可能にすること。
• 特にスピン3/2粒子に対して、高スピン場方程式の数学的基盤を提供すること。
• 4成分形式の制限を、8成分スピンダーの豊富な構造を活用することで克服すること。

提案手法

• 9つの$8\times8$ガンマ行列$\Gamma^j$を構成し、$\Gamma^A\Gamma^B + \Gamma^B\Gamma^A = 2\delta^{AB}$を満たすようにし、実的クリフォード代数を形成する。
• パウリ行列$\sigma^j$と複素共役作用素$\hat{C}$を用いて、ブロック行列形式でガンマ行列を定義する。
• 8つの独立生成子（$\hat{C}$および$i$倍の項を含む）の積の全集合として256次元代数を導出する。
• クリフォード代数構造から、リー代数$\mathfrak{so}(10)$および$\mathfrak{so}(1,9)$の表現を確立する。
• 8成分空間におけるフォールディ＝ウーストホイゼン変換を適用し、物理的対称性を抽出する。
• 全代数を$\{64\text{Cl}^\mathbb{C}(0,6)\} \cup i\cdot\{64\text{Cl}^\mathbb{C}(0,6)\} \cup \hat{C}\cdot\{64\text{Cl}^\mathbb{C}(0,6)\} \cup i\hat{C}\cdot\{64\text{Cl}^\mathbb{C}(0,6)\}$として再構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実的クリフォード・ディラック代数を4成分スピンダーを超えて8成分表現に拡張することは可能か？
• RQ2 $\text{Cl}^\text{R}(0,8)$および$\text{Cl}^\text{R}(1,7)$の8成分スピンダー空間における256次元実表現は何か？
• RQ3 これらの拡張された代数は、質量のあるディラック方程式に対する新しいボソン的対称性をどのように可能にするか？
• RQ4 この形式は、特にスピン3/2粒子を記述するために高スピンに一般化可能か？
• RQ5 複素共役作用素$\hat{C}$は、全実的クリフォード代数を構築する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、8成分スピンダー空間における8×8ガンマ行列を用いて、256次元の実的クリフォード代数$\text{Cl}^\text{R}(0,8)$を構築する。
• 代数は、$\hat{C}$および$i$倍の項を含む8つの独立生成子の積からなる256個の異なる要素を含む。
• $\mathfrak{so}(10)$および$\mathfrak{so}(1,9)$リー代数の表現が、拡張されたクリフォード代数から導出される。
• 逆フォールディ＝ウーストホイゼン変換を用いて、質量のあるディラック方程式の新しいボソン的対称性を同定可能である。
• 従来の64次元の$\text{Cl}^\text{R}(0,6)$および$\text{Cl}^\mathbb{C}(0,6)$代数の結果が、高次元に一般化される。
• この手法により、余分な成分を含まずに、特にスピン3/2粒子の一次場方程式を研究するためのフレームワークが提供される。