[論文レビュー] Extended SUSY quantum mechanics, intertwining operators and coherent states

Фабио Багарелло|ArXiv.org|Apr 1, 2009

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 13被引用数 51

ひとこと要約

本稿は、因子分解やボソン・フェルミオン構造を必要としない、相互作用作用素を用いた一般化された枠組みを導入することで、超対称量子力学（SUSY QM）を拡張する。これにより、等スペクトルなハミルトニアンを構成可能となる。さらに、Gazeau-Klauder型のベクトルコherent状態を構築し、γに依存する作用素の固有状態としての性質を示し、新規な作用素形式を通じて相互作用構造と結びつける。

ABSTRACT

We propose an extension of {\em supersymmetric quantum mechanics} which produces a family of isospectral hamiltonians. Our procedure slightly extends the idea of intertwining operators. Several examples of the construction are given. Further, we show how to build up vector coherent states of the Gazeau-Klauder type associated to our hamiltonians.

研究の動機と目的

• 標準的な因子分解ハミルトニアンに依存しない、相互作用作用素を用いた新しい等スペクトルペアのクラスを導入することで、超対称量子力学を一般化すること。
• H₁ = A⁺A を要求する制限を排除し、より一般なハミルトニアンおよび作用素を許容すること。
• 解像度の原理と連続性といった主要な物理的・代数的性質を満たすGazeau-Klauder型のベクトルcoherent状態を構築すること。
• 拡張されたSUSYフレームワークにおいて、相互作用作用素とcoherent状態生成作用素の間の直接的な代数的関係を確立すること。

提案手法

• ヒルベルト空間 $ \mathcal{H} $ 上に自己共役ハミルトニアン $ h_1 $ を定義し、固有状態 $ \hat{\varphi}_n^{(1)} $ と固有値 $ \epsilon_n $ を持つ。
• 作用素 $ x_1 $ を導入し、$ [x_1 x_1^\dagger, h_1] = 0 $ かつ $ N_1 = x_1^\dagger x_1 $ が可逆であることを満たす。これにより、新しいハミルトニアン $ h_2 = N_1^{-1}(x_1^\dagger h_1 x_1) $ を構成可能となる。
• 2次量子化状態 $ \varphi_n^{(2)} = x_1^\dagger \hat{\varphi}_n^{(1)} $ を定義し、$ \varphi_n^{(2)} \neq 0 $ の場合、$ h_2 $ の固有状態かつ同じ固有値 $ \epsilon_n $ を持つ。
• パラメータ $ \delta $ を用いて、ボソン的およびフェルミオン的セクターの両方にわたる重ね合わせとして、ベクトルcoherent状態 $ \Psi_\delta(\underline{J}, \gamma) $ を構築する。$ \delta $ は連続性を保証し特異性を回避する。
• $ \gamma $ に依存する作用素 $ A_\gamma $ を定義し、coherent状態に対して下げ作用素として作用させ、$ A\_\gamma \Psi_\delta(\underline{J}, \gamma) = J^{1/2} \Psi_\delta(\underline{J}, \gamma) $ を満たすようにする。
• 相互作用作用素 $ x_1 $ 及びその随伴作用素 $ x_1^\dagger $ を、coherent状態生成作用素 $ A_\gamma^\dagger $ と関連付け、特定の条件下で $ X \Psi_\delta(\underline{J}, \gamma) = A_{-\gamma}^\dagger \tilde{J}^{1/2} \Psi_\delta(\tilde{\underline{J}}, -\gamma) $ を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 因子分解されたハミルトニアンや標準的なスーパーチャージ代数に依存しない、一般化されたSUSY QMフレームワークを構築可能か？
• RQ2 H₁ = A⁺A を要求しない条件下で、与えられた種のハミルトニアンから相互作用作用素を用いて等スペクトルなハミルトニアンを生成可能か？
• RQ3 この拡張されたSUSYフレームワークにおいて、解像度の原理と連続性を満たすGazeau-Klauder型のベクトルcoherent状態を一貫して定義可能か？
• RQ4 相互作用作用素 $ x_1 $, $ x_1^\dagger $ とcoherent状態生成・消滅作用素 $ A_\gamma $, $ A_\gamma^\dagger $ の間の代数的関係は何か？
• RQ5 パラメータ $ \delta $ の導入が、coherent状態の連続性と物理的整合性をどのように向上させるか？

主な発見

• 構築されたハミルトニアン $ h_2 $ は自己共役であり、$ h_1 $ と等スペクトルであり、固有状態 $ \varphi_n^{(2)} = x_1^\dagger \hat{\varphi}_n^{(1)} $ を持つ（ただし $ \varphi_n^{(2)} \neq 0 $ の場合）。
• ベクトルcoherent状態 $ \Psi_\delta(\underline{J}, \gamma) $ は $ \delta \to 0 $ の極限で解像度の原理を満たし、完全性が保証される。
• coherent状態は $ \gamma $ に依存する作用素 $ A_\gamma $ の固有状態であり、固有値 $ J^{1/2} $ を持つ。これにより、一般化coherent状態としての役割が確認される。
• $ \alpha_n^{(1)} = \alpha_n^{(2)} = \epsilon_n $ の条件下で、相互作用作用素 $ X = \begin{pmatrix} 0 & x_1 \\ x_1^\dagger & 0 \end{pmatrix} $ は $ X \Psi_\delta(\underline{J}, \gamma) = A_{-\gamma}^\dagger \tilde{J}^{1/2} \Psi_\delta(\tilde{\underline{J}}, -\gamma) $ を満たし、SUSY構造とcoherent状態ダイナミクスの間の関係を確立する。
• $ \delta $ の導入により、ノルム測度 $ d\nu(\gamma) $ の不連続性が解消され、coherent状態積分の均一な連続性が保証される。
• 任意の作用素 $ x_1 $ が交換関係および可逆性条件を満たす限り、標準SUSY QMを一般化し、1次元や因子分解系に限定されないより広範な物理的応用を可能にする。