[論文レビュー] Extended TQFT arising from enriched multi-fusion categories

Hao Zheng|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 33被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、モジュラーtensorカテゴリ 𝒞 に対して、自己豊密化された多重ファイバー化カテゴリ 𝔠 = (𝒞, 𝒞̄) が完全双対的対象をなす対称モノイダル (4,3)-カテゴリであることを構成することにより、任意のモジュラーtensorカテゴリ 𝒞 に対して完全に拡張された3次元TQFTを提案する。得られるTQFTは次元0まで拡張されたReshetikhin-Turaev TQFTであり、その二重理論はTuraev-Viro不変量を回復し、手前の異常性はチャーラル/反チャーラルキャンセレーションによって解消される。

ABSTRACT

We define a symmetric monoidal (4,3)-category with duals whose objects are certain enriched multi-fusion categories. For every modular tensor category $\mathcal{C}$, there is a self enriched multi-fusion category $\mathfrak{C}$ giving rise to an object of this symmetric monoidal (4,3)-category. We conjecture that the extended 3D TQFT given by the fully dualizable object $\mathfrak{C}$ extends the 1-2-3-dimensional Reshetikhin-Turaev TQFT associated to the modular tensor category $\mathcal{C}$ down to dimension zero.

研究の動機と目的

• 豊密化された多重量ファイバー化カテゴリを対象とする完全双対的を持つ対称モノイダル (4,3)-カテゴリを構成すること。
• モジュラーtensorカテゴリ 𝒞 から生じる自己豊密化された多重量ファイバー化カテゴリ 𝔠 = (𝒞, 𝒞̄) が完全双対的であることを示すこと。
• この拡張TQFT 𝒁_𝔠 が次元0まで拡張されたReshetikhin-Turaev TQFTを再現するという予想を提示すること。
• この拡張TQFTの二重理論がTuraev-Viro TQFTと同値であることを示すこと。
• Reshetikhin-Turaev TQFTにおける手前の異常性が、拡張理論におけるチャーラルおよび反チャーラル成分のキャンセレーションによって解消されることを主張すること。

提案手法

• ブラケットモノイダルカテゴリに豊密化された多重量ファイバー化カテゴリを定義し、特にモジュラーtensorカテゴリの自己豊密化に注目する。
• 豊密化された多重量ファイバー化カテゴリを対象とし、射は双モジュラーであるような、対称モノイダル (4,3)-カテゴリ 𝕀𝒰𝕄𝔽𝑪^en を構成する。
• ユニタリティを用いてこのカテゴリにおける双対性を確立し、豊密化と整合するように双対が適切に定義されることを保証する。
• 自己豊密化カテゴリ (𝒞, 𝒞̄) のDrinfeld中心が、[KZ2]で確立されたように 𝒞 自身と同値であることを示す。
• コボルディズム仮説を用いて、完全双対的対象 (𝒞, 𝒞̄) を用いて点に拡張TQFTを割り当てる。
• 1-, 2-, 3次元多様体におけるTQFTの値を分析し、Reshetikhin-Turaev理論とCrane-Yetter理論の両方の特徴を組み合わせることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のモジュラーtensorカテゴリ 𝒞 に対して、Reshetikhin-Turaev TQFTを次元0まで拡張することは可能か？
• RQ2 境界がReshetikhin-Turaev TQFTである完全に拡張されたTQFTにおいて、点に割り当てるべき数学的対象は何か？
• RQ3 完全に拡張された設定において、Reshetikhin-Turaev TQFTにおける手前の異常性はどのようにキャンセルされるか？
• RQ4 提案された拡張TQFTの二重理論はTuraev-Viro TQFTと同値か？
• RQ5 任意の豊密化された多重量ファイバー化カテゴリは、SO(3)固定点に拡張可能であり、向きの反転に対して不変性を保証できるか？

主な発見

• 豊密化された多重量ファイバー化カテゴリ 𝔠 = (𝒞, 𝒞̄) は、豊密化された多重量ファイバー化カテゴリの対称モノイダル (4,3)-カテゴリにおいて完全双対的である。
• 拡張TQFT 𝒁_𝔠 は1-, 2-, 3次元多様体に割り当てる値が、Reshetikhin-Turaev理論とCrane-Yetter理論の両方の構造を反映している。
• 二重理論 𝒁_𝔠 ⊠ 𝒫 はTuraev-Viro TQFT 𝒁^TV_𝒞 と同値であり、既知の双対性結果との整合性が確認された。
• Reshetikhin-Turaev TQFTにおける手前の異常性は、拡張理論におけるチャーラルおよび反チャーラル成分のキャンセレーションによって解消されており、これは 𝒁_𝔠(S¹) が (Z(𝔠^♯), 𝔥) および (𝒞₂, Fun(𝒞₂, 𝒞₂)) に分解されることで裏付けられている。
• 対称モノイダル (4,3)-カテゴリ 𝕀𝒰𝕄𝔽𝑪^en は適切に振る舞う双対性を示しており、双対は反転双モジュラー構成により定義され、異なる豊密化に対しても成立する。
• この構成は、豊密化されたファイバー化カテゴリを用いた2+1次元トポロジカルオーダーにおけるギャップありおよびギャップなしエッジの記述のためのフレームワークを示唆している。