[論文レビュー] Extended TQFT, Gauge Theory, AND 2-Linearization

Jeffrey C. Morton|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 50被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、2次線形化ファンクターをコhomologicalなねじれを含めるように拡張し、3次コホモロジー類を用いたDijkgraaf-Wittenトポロジカルゲージ理論の完全なカテゴリカル構成を可能にする。群のグロイドのスパンをコホモロジー類データを含むように一般化することで、拡張TQFTを、ねじれ付きグロイドの対称モノイダル2カテゴリから2ベクトル空間へのファンクターとして実現し、Gをゲージ群とするDWモデルと分類コホモロジー類ωによるカテゴリカルな導出を達成する。

ABSTRACT

In this paper, we describe a relation between a categorical construction, called 2-linearization, and extended topological quantum field (ETQFT). We then describe an extension of the 2-linearization process which incorporates cohomological twisting. The 2-linearization process assigns 2-vector spaces to (finite) groupoids, functors between them to spans of groupoids, and natural transformations to spans between these. By applying this to groupoids which represent the (discrete) moduli spaces for topological gauge with finite group G, the ETQFT obtained is the untwisted Dijkgraaf-Witten (DW) model associated to G. This illustrates the factorization of TQFT into field theory valued in groupoids, and quantization functors, which has been described by Freed, Hopkins, Lurie and Teleman. We then describe how to extend this to the full DW model, by using a generalization of the symmetric monoidal bicategory of groupoids and spans which incorporates cocycles. We give a generalization of the 2-linearization functor which acts on groupoids and spans which have associated cohomological data. We show how the 3-cocycle {\omega} on the classifying space BG which appears in the action for the DW model induces a classical field valued in this bicategory.

研究の動機と目的

• 2次線形化プロセスをコホモロジー的ねじれを含めるように拡張し、完全なDijkgraaf-Wittenモデルのカテゴリカルな記述を可能にする。
• 群のグロイドとスパンの対称モノイダル2カテゴリを、グロイドの2次コホモロジー類を含めるように一般化する。
• BG上の3次コホモロジー類ωが、拡張TQFTの古典的場の理論部に自然に現れる仕組みを明らかにする。
• ETQFTを、ねじれ付きグロイド値の場の理論と2次線形化による量子化ファンクターへの分解として確立する。
• トポロジカルゲージ理論の場の理論的および量子化的側面を統一するカテゴリカルな枠組みを提供する。

提案手法

• 群のグロイド上の2次コホモロジー類を用いて、群のグロイドとスパンの対称モノイダル2カテゴリをコホモロジー的データを含むように一般化する。
• ねじれ付きグロイドに2ベクトル空間を割り当てるねじれ付き2次線形化ファンクターを定義し、ねじれ付きスパンにファンクターを、ねじれ付きスパンの同型写像に自然変換を割り当てる。
• BG上の3次コホモロジー類ωでパラメータ化された、ねじれ付きグロイドとスパンの拡張2カテゴリ値の古典的場の理論を構成する。
• 有限群Gの分類空間BGを用いて、3次コホモロジー類ωをH^3(BG, U(1))における特徴的類として解釈する。
• 平らなG-バンドルのモジュライグロイド（離散的）にねじれ付き2次線形化ファンクターを適用し、2ベクトル空間への3ファンクターとして完全なDW TQFTを導出する。
• 得られたTQFTが、ωによる重み付けが施されたDijkgraaf-Witten不変量を再現することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして2次線形化プロセスを、トポロジカル量子場理論の文脈でコホモロジー的ねじれを含めるように一般化できるか？
• RQ2 ゲージ理論の文脈で、対称モノイダル2カテゴリを支えるねじれ付きグロイドとスパンのカテゴリカル構造は何か？
• RQ3 BG上の3次コホモロジー類ωは、拡張TQFTの古典的場の理論部にどのように現れるか？
• RQ4 ETQFTを、場の理論と量子化ファンクターへの分解として、ねじれ構造を用いて完全なDijkgraaf-Wittenモデルを再構成できるか？
• RQ5 分類空間BGは、コホモロジー的データを用いてゲージ理論の作用をどのように符号化するか？

主な発見

• 2次線形化ファンクターは、群のグロイド上の2次コホモロジー類を用いて、コホモロジー的ねじれを含むように成功裏に拡張され、一般化された対称モノイダル2カテゴリを形成する。
• ねじれ付き2次線形化は、ねじれ付きグロイドに2ベクトル空間を、ねじれ付きスパンにファンクターを、ねじれ付きスパンの同型写像に自然変換を割り当てる。
• ETQFTの古典的場の理論部は、BG上の3次コホモロジー類ωが構造に自然に符号化された、ねじれ付きグロイドとスパンの2カテゴリ値として実現される。
• ねじれ付き2次線形化から得られるTQFTは、ゲージ群Gと作用にωによる重み付けが施された完全なDijkgraaf-Wittenモデルを再現する。
• この構成は、Freed, Hopkins, Lurie, Telemanが提唱したように、ETQFTの場の理論と量子化への分解のカテゴリカルな実現を提供する。
• BG上の3次コホモロジー類ωは、拡張された2カテゴリ内に古典的場を誘導することを示し、作用関数が高次カテゴリカルデータと直接的に関連付けられることを明確にする。