[論文レビュー] Extending functions from a neighborhood of the sphere to the ball

Valentin Seigneur|arXiv (Cornell University)|May 17, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、球面 $\mathbb{S}^n$ の周囲に定義された滑らかな関数の局所的関数の、球体上の臨界点のない関数への拡張のための代数的必要条件を提示する。これは、$\mathbb{Z}$-係数を用いたモース鎖複体と、順序付き同型写像の群 $G(\tilde{f})$ を用いる。$n \geq 6$ の場合、特定のインデックスおよびラベル制約のもとで、拡張が可能であるための必要十分条件は、$\det(\partial_{++,k+1}) \equiv \pm 1 \mod d_1(\partial_{+-,k+1})$ である。ここで $d_1$ は $\partial_{+-,k+1}$ ブロックの成分の最大公約数を表す。

ABSTRACT

In this article, we are interested in the problem of extending the germ of a smooth function $ ilde{f}$ defined along the standard sphere of dimension $n$ to a function defined on the ball which has no critical points. The article gives a necessary condition using the Morse chain complex associated to the function $f$, restriction of $ ilde{f}$ to the sphere $\mathbb{S}^n$, which is assumed to be a Morse function.

研究の動機と目的

• 滑らかな関数の局所関数 $\tilde{f}$ を、球面 $\mathbb{S}^n$ 沿いに定義し、その閉球体 $\mathbb{D}^{n+1}$ 上の臨界点を持たない関数への拡張が可能となる必要十分条件を同定すること。
• バランニコフらの先行的な組合せ的結果を一般化し、$\mathbb{Z}$-係数を用いたモース複体に基づく代数的条件を導入すること。
• 臨界点のインデックスと法線微分（符号 $\pm$）によるラベル付けに関する制約のもとで、そのような拡張が存在する条件を特徴づけること。
• $n \geq 6$ の場合に、行列式 $\det(\partial_{++,k+1})$ と $\partial_{+-,k+1}$ の成分の最大公約数 $d_1$ を用いた、計算可能な基準を確立すること。
• 臨界点のインデックスのトポロジー的制約と臨界値の順序付けが追加で与えられた場合、定理3.1の必要条件が十分条件に拡張されることを示すこと。

提案手法

• 境界 $\partial M = \mathbb{S}^n$ 沿いに定義されたモース局所関数 $\tilde{f}$ を定義し、臨界点を持たないとする。臨界点は法線微分の符号により分類され、$\mathcal{C}^+$（正）および $\mathcal{C}^-$（負）に分類する。
• $\mathbb{Z}$-係数を用いたモース鎖複体を構成し、境界作用素 $\partial_k$ を $\ell_1, \ell_2 \in \{+, -\}$ に対するブロック $\partial_{\ell_1\ell_2,k}$ に分解する。
• 各ラベルとインデックスを保存するような、同型写像の群 $G(\tilde{f})$ を導入し、臨界点のハンドルスライドを介して作用させる。
• 臨界点を持たない拡張が存在するための必要十分条件として、$M \in G(\tilde{f})$ が存在し、$M\partial M^{-1}$ の $(-, +)$ ブロックがゼロであり、$++$ ブロックが $n$ 次元で $\mathbb{Z}$、それ以外では自明なホモロジーを持つ鎖複体を定義することを証明する。
• $n \geq 6$ において、最大値が1つ、最小値が1つ、インデックス $k$ および $k+1$ の臨界点が存在し、$2 \leq k \leq n-2$ であると仮定する。このとき、拡張が可能であるための必要十分条件は、$\det(\partial_{++,k+1}) \equiv \pm 1 \mod d_1(\partial_{+-,k+1})$ である。ここで $d_1$ は $\partial_{+-,k+1}$ の成分の最大公約数である。
• サーフ理論と関数の一般的経路を用いて、臨界値が順序付けられ、標準的なハンドルスライド構造を持つ関数 $f_1$ を構成し、その結果として行列式条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{Z}$-係数を用いたモース複体の代数的条件は、$\mathbb{S}^n$ 沿いの臨界点を持たない局所関数が球体上に臨界点を持たない関数へと拡張可能となる条件として、どのようなものか？
• RQ2 定理3.1の必要条件は、$n \geq 6$ の場合、臨界点を持たない拡張に対して十分条件となるか？
• RQ3 拡張問題は、境界作用素のブロックに関する計算可能な算術的条件に還元可能か？
• RQ4 法線微分の符号に基づくラベル $\pm$ と臨界値の順序付けは、臨界点を持たない拡張の存在にどのように影響するか？
• RQ5 順序付き同型写像の群 $G(\tilde{f})$ は、モース複体を非臨界拡張が可能となる形に変形するために果たす役割は何か？

主な発見

• 定理3.1の必要条件——$M \in G(\tilde{f})$ が存在し、$M\partial M^{-1}$ の $(-, +)$ ブロックがゼロであり、$++$ ブロックが $n$ 次元で $\mathbb{Z}$、それ以外では自明なホモロジーを持つ鎖複体を定義する——は、一般には十分ではない。
• $n \geq 6$ の場合、$f$ が最大値が1つ、最小値が1つ、インデックス $k$ および $k+1$ の臨界点が存在し、$2 \leq k \leq n-2$ であると仮定する。このとき、局所関数 $\tilde{f}$ が非臨界に拡張可能であるための必要十分条件は、$\det(\partial_{++,k+1}) \equiv \pm 1 \mod d_1(\partial_{+-,k+1})$ である。ここで $d_1$ は $\partial_{+-,k+1}$ の成分の最大公約数である。
• 条件 $\det(\partial_{++,k+1}) \equiv \pm 1 \mod d_1(\partial_{+-,k+1})$ は、行列 $\begin{pmatrix}\partial_{++,k+1} & \partial_{+-,k+1}\end{pmatrix}$ の全射性と同値であり、これにより $\partial_{++,k+1} + \partial_{+-,k+1}N_{k+1}$ が可逆となるような行列 $N_{k+1}$ の存在が保証される。
• 証明では、ハンドルスライドを用いて臨界値を順序付け、境界作用素を単純化する関数 $f_1$ を構成し、最終的に非臨界拡張に必要な $\mathbb{Z}$-ホモロジー条件を実現する。
• 群 $G(\tilde{f})$ は、順序付き同型写像を介してモース複体を変形可能とし、その構造は臨界値の順序と $\pm$ ラベルによる臨界点の分類に依存する。
• すべてのインデックス $k$ および $k+1$ の $+$-ラベル臨界点が、$-$-ラベルのものよりも高い臨界値を持つ場合、条件は計算可能かつ完全に代数的となり、非臨界拡張可能性のアルゴリズム的検証が可能になる。