[論文レビュー] Extending Homotopy Type Theory with Strict Equality

Thorsten Altenkirch, Paolo Capriotti+1 more|Nottingham ePrints (University of Nottingham)|Apr 13, 2016

Logic, programming, and type systems参考文献 1被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、ホモトピー型理論（HoTT）を2段階の型理論に拡張し、外側の層に厳密な等価性型を導入することで、内側の層に保存されたHoTTの弱い等価性を維持する。等価性反射を避けて外側理論における一意な同一性証明に依存することにより、型チェックの決定性を保ちつつ、Reedy fibrantな半単体的型や無限の整合性塔といった複雑な構成を内部化可能にする。これは標準的なHoTTでは実現できない。

ABSTRACT

In homotopy type theory (HoTT), all constructions are necessarily stable under homotopy equivalence. This has shortcomings: for example, it is believed that it is impossible to define a type of semi-simplicial types. More generally, it is difficult and often impossible to handle towers of coherences. To address this, we propose a 2-level theory which features both strict and weak equality. This can essentially be represented as two type theories: an "outer" one, containing a strict equality type former, and an "inner" one, which is some version of HoTT. Our type theory is inspired by Voevosky's suggestion of a homotopy type system (HTS) which currently refers to a range of ideas. A core insight of our proposal is that we no not need any form of equality reflection in order to achieve what HTS was suggested for. Instead, having unique identity proofs in the outer type theory is sufficient, and it also has the meta-theoretical advantage of not breaking decidability of type checking. The inner theory can be an easily justifiable extensions of HoTT, allowing the construction of "infinite structures" which are considered impossible in plain HoTT. Alternatively, we can set the inner theory to be exactly the current standard formulation of HoTT, in which case our system can be thought of as a type-theoretic framework for working with "schematic" definitions in HoTT. As demonstrations, we define semi-simplicial types and formalise constructions of Reedy fibrant diagrams.

研究の動機と目的

• Reedy fibrantな図式や半単体的型のような、無限の整合性データの塔を必要とする構成を内部化できないというHoTTの制限を解決すること。
• 等価性反射を必要とせず、決定性を損なわずに「スケーマティック」な定義や無限構造をサポートする型理論的枠組みを提供すること。
• HoTTに関するメタ理論的結果（例えば、ファイブレーションの置換や、ユニバースを(∞,1)-圏としての構造）の内部化を可能にすること。
• 型理論内での合成的(∞,1)-圏論および高次インダクティブ型（HIT）の理論的基盤を築くこと。
• 従来はメタ理論的にしか可能でなかった構成（例えば、ファイブレーションの極限やReedy fibrantな図式）を今や内部的に形式化できることを示すこと。

提案手法

• 外側層に厳密な等価性を備え、内側層を標準的なHoTTに基づく2段階型理論を導入し、厳密な等価性と弱い等価性の共存を可能にする。
• 外側理論における一意な同一性証明（UIP）を用いて型チェックの決定性を保証し、等価性反射の必要性を回避する。
• 自然数に関する相互再帰を用いてReedy fibrantな図式を定義し、定理4.10によるマッチング対象の型理論的表現を活用する。
• Δ₊^op上のReedy fibrantな図式として半単体的型を構成し、マッチング対象上のファイブレーションを含む再帰的型定義を用いる。
• 定数関手AのReedy fibrant置換を定義することで、ファイブレーションの置換の構成を内部化し、∞-群作用の構造を生成する。
• Segal写像が同値であるReedy fibrantな半単体的型として(∞,1)-圏の合成的枠組みを提案し、退化射を含む拡張の可能性も示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Reedy fibrantな図式に必要なような無限の整合性塔を、決定性を損なわず型理論的枠組み内で内部化できるか？
• RQ2 メタ理論的構成に依存せず、HoTT内で半単体的型を内部的に定義可能か？
• RQ3 型のユニバースが型理論的枠組み内で自然に(∞,1)-圏として理解可能か？
• RQ4 現在の文法的アプローチでは扱いきれないほどの多数の整合性を扱えるように、高次インダクティブ型（HIT）を形式的に定式化できるか？
• RQ5 ファイブレーションの置換の構成を内部化することで、任意の型に∞-群作用の構造を付与できるか？

主な発見

• 提案された2段階型理論は、自然数に関する相互再帰とマッチング対象上のファイブレーションによるエンコーディングにより、Reedy fibrantな図式（半単体的型を含む）を効果的に内部化した。
• 外側の厳密等価性層における一意な同一性証明（UIP）に依存することで、等価性反射を必要とせず型チェックの決定性を達成した。
• 定数関手AのReedy fibrant置換として得られる半単体的型Eq_Aは∞-群作用の構造を備えており、すべての型が内部的に∞-群作用の構造を有することを示した。
• 型理論的枠組み内で、モデルの図式がユニバーシティの同一性を保存するというメタ理論的結果（例えば、図式が構成的に定式化されていれば）を内部化可能である。
• Segal型をReedy fibrantな半単体的型として定義し、ホモトピー的整合性のある合成を備えることで、合成的(∞,1)-圏論の基盤を提供した。
• 有限で帰納的な構成により、無限の整合性塔の扱いを解決し、高次の整合性を暗黙にエンコードできるようにした。