[論文レビュー] Extending Hudson's theorem to mixed quantum states

Aikaterini Mandilara, Evgueni Karpov+1 more|Nazarbayev University Repository (Nazarbayev University)|Aug 18, 2008

Quantum Information and Cryptography参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、純粋状態におけるWigner関数が正であるのはガウス状態に限ることを示すハドソンの定理を、混合量子状態へと拡張し、非ガウス性の解析的上限および下限を導出することで、非ガウス性の境界を特定する。ラグランジュ乗数法とコーシー・シュワルツの不等式を用いて、純度および対応するガウス状態の純度に依存する、正のWigner関数をもつ混合状態の非ガウス性の境界を導出。非ガウス性は純度が低下するにつれて増加するが、物理的に不成立な極値解に起因して、上限は物理的に実現不可能であることが判明。

ABSTRACT

According to Hudson's theorem, any pure quantum state with a positive Wigner function is necessarily a Gaussian state. Here, we make a step towards the extension of this theorem to mixed quantum states by finding upper and lower bounds on the degree of non-Gaussianity of states with positive Wigner functions. The bounds are expressed in the form of parametric functions relating the degree of non-Gaussianity of a state, its purity, and the purity of the Gaussian state characterized by the same covariance matrix. Although our bounds are not tight, they permit us to visualize the set of states with positive Wigner functions.

研究の動機と目的

• 純粋状態に限定されたハドソンの定理を、正のWigner関数をもつ混合量子状態へと拡張すること。
• 同じ共分散行列をもつ参照ガウス状態との相対的な非ガウス性を定量化することで、正のWigner関数をもつ混合状態の集合を特徴付けること。
• 状態の純度とそのガウス的対応物の純度にのみ依存する、解析的に計算可能な非ガウス性の境界を導出すること。
• 特に極値化によって得られた上限の物理的実現可能性とタイトさを検証すること。
• 連続変数量子情報における非ガウス状態の設計を理解するための枠組みを提供すること。

提案手法

• Wigner関数の積分表現を用いて、トレースの重なり Tr(ρρ′) = 2π∫∫ Wρ(x,p)Wρ′(x,p) dx dp を定式化する。
• シミレクティック変換を用いてガウス状態を熱状態に簡略化し、純度、Wigner関数の正値性、トレースの重なりを保存する。
• 固定された2次モーメント（共分散行列）とWρの正値性という制約の下で、Tr(ρρG) を極値化するためのラグランジュ乗数法を適用する。
• 極値化問題を解くことにより、非ガウス性 δ[ρ,ρG] の上限を導出し、パラメトリックな上限 δ^u.ult(μ[ρG]) を得る。
• Wigner表現にコーシー・シュワルツの不等式を適用し、δ[ρ,ρG] の下限を得る。これにより、Tr(ρρG) ≤ √(μ[ρG]μ[ρ]) を用いて δ^l.ult を得る。
• Fock状態との重なりをテストすることで、上限の物理的妥当性を評価。有限な μ[ρG] > 0 に対して、極値解 Wρ^ex は物理的に不成立であると結論する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 純粋状態における正のWigner関数に関するハドソンの定理は、混合量子状態へと拡張可能か？
• RQ2 与えられた純度とその対応するガウス状態の純度が分かっているとき、正のWigner関数をもつ混合状態の非ガウス性の境界は何か？
• RQ3 極値化によって得られた非ガウス性の上限は物理的に実現可能か？
• RQ4 状態の純度とそのガウス的基準との関係は、許容可能な最大非ガウス性にどのように関係するか？
• RQ5 混合状態において、Wigner関数の正値性とハイゼンベルクの不確定性原理の関係は何か？

主な発見

• 非ガウス性の上限 δ^u.ult は、ガウス的基準状態の純度 μ[ρG] のみに依存するため、実験的に容易にアクセス可能である。
• 上限 δ^u.ult は物理的に不成立である。有限な μ[ρG] > 0 に対して、極値Wigner関数 Wρ^ex はすべてのFock状態と正の重なりを持たない。
• コーシー・シュワルツの不等式を用いて、正または負のWigner関数をもつすべての状態に対して有効な非ガウス性の下限 δ^l.ult が導出された。
• 非ガウス性の可能な領域は、μ[ρ]、μ[ρG]、δ[ρ,ρG] の3次元空間において、δ^u.ult と δ^l.ult の間で制限される。
• 状態の純度の下限として、μ[ρ] = (8/9)μ[ρG] が導出された。これは既知の不確定性関係と整合的である。
• 結果は、ハドソンの定理とハイゼンベルクの不確定性原理との間に深い関係があることを確認しており、境界 μ[ρ] = (8/9)μ[ρG] は漸近的にタイトであり、正のWigner関数によって実現される。