[論文レビュー] Extending linear and quadratic functions from high rank varieties

David Kazhdan, Tamar Ziegler|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2017

Finite Group Theory Research参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、高ランクの代数的多様体上で定義された弱線形または弱二次関数が、埋め込まれたベクトル空間上で全空間に線形または二次関数に拡張可能となる条件を確立する。有限体および複素数において、次数 $d$、余次元 $L$、十分に高いランクを持つ同次的完全交差は、適切である（すなわち、それら上の弱線形／二次関数は、全空間上の線形／二次関数の制限である）。主な結果は、特性が $d$ を超える場合、有限体のサイズに依存しない一様なランク閾値 $r(d,L)$ が存在することである。これは、補助的多様体 $E(X)$ 上の有理点の数を制限することで得られ、代数幾何学的および点数え技術を用いて次元推定と適切性の証明が可能になる。

ABSTRACT

Let $k$ be a field, $V$ be a $k$-vector space and $X\subset V$ an algebraic irreducible subvariety. We say that a function $f:X(k) o k$ is weakly linear if its restriction to any two-dimensional linear subspace $W$ of $V$ contained in $X$ is linear and that it is weakly quadratic if its restriction to any three-dimensional linear subspace $W$ of $V$ contained in $X$ is quadratic. We say that $X$ is admissible if any weakly linear function on $X$ is a restriction of a linear function on $V$ and any weakly quadratic function on $X$ is a restriction of a quadratic function on $V$. The main result in the paper concerns the case when the field $k$ is a finite. We show that for any $d,L\geq 1$ there exists $r=r(d,L,k)\in \mathbb Z _+$ such that any complete intersection $X\in V$ in a vector space $V$ of codimension $L$, degree $d$ and rank $\geq r$ is admissible. Moreover we show the existence of a function $r(d,L)$ such that one can take $r(d,L,k)=r(d,L)$ for all finite fields $k$ of characteristic $>d$. The proof of the admissibility for finite fields $k$ is based on bounds on the number of $k$-points on ancillary varieties $E(X)$. These results allow us to bound the dimension of varieties $E(X)$. Using these results we were able to prove the admissibility of complex homogeneous varieties of high rank. Using the results of \cite{br} one can extend our proofs to show the admissibility of varieties of high rank over local non-archimedian fields. Also using Corollary $4.3$ of \cite{cmpv} one can dispense with the assumption that $X$ is a complete intersection.

研究の動機と目的

• 代数的多様体上の弱線形または弱二次関数が、埋め込まれたベクトル空間上で全空間に線形または二次関数に拡張可能となる条件を特定すること。
• 有限体および複素数上での高ランクの同次的完全交差の適切性を確立すること。
• 特性が $d$ を超える場合、有限体のサイズに依存しない一様なランク閾値 $r(d,L)$ の存在を証明し、適切性を保証すること。
• 補助的多様体 $E(X)$ 上の点数えを用いて、その次元を制限し、全空間への拡張結果を導出すること。

提案手法

• 弱線形および弱二次関数を、多様体に含まれる低次元部分空間に制限して線形的または二次的となる関数として定義する。
• 適切性の概念を導入する：多様体が適切であるとは、それ上のすべての弱線形（それぞれ弱二次）関数が、全空間上の線形（それぞれ二次）関数の制限であることを意味する。
• 補助的多様体 $E(X)$ 上の $k$-有理点の数の上限を用いて、次元を制御し、有限体上での適切性を導出する。
• Weil型推定および可 constructible 集合論を用いて、有限体上の点数えと $\mathbb{C}$ 上の幾何的次元を関連付け、結果の移行を可能にする。
• 特性が $d$ を超える場合、$r(d,L,k)$ は $k$ に依存せずとれるため、一様な境界が得られる。
• 文献[3]および[4]の結果を活用し、完全交差に限らず、一般の高ランク同次的多様体に対しても適切性を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多様体 $X \subset V$ に対して、任意の弱線形関数 $f: X(k) \to k$ が $V$ 上の全空間線形関数に拡張可能となる条件は何か？
• RQ2 どのクラスの多様体に対して、$X(k)$ 上のすべての弱二次関数が $V$ 上の全空間二次関数の制限となるか？
• RQ3 特性が $d$ を超える場合、有限体 $k$ に依存しないランク閾値 $r(d,L,k)$ を適切性のためにとれるか？
• RQ4 補助的多様体 $E(X)$ 上の有理点数の上限が、多様体 $X$ の次元および適切性とどのように関係するか？
• RQ5 適切性の結果において、$X$ が完全交差であるという仮定をどの程度まで取り除けるか？

主な発見

• 任意の $d, L \geq 1$ に対して、閾値 $r(d,L)$ が存在し、次数 $d$、余次元 $L$、ランク $> r(d,L)$ である任意の同次的完全交差 $X \subset V$ は、特性 $> d$ の有限体上で適切である。
• 特性が $d$ を超える場合、$r(d,L,k)$ は有限体 $k$ に依存せずとれるため、このような体全体にわたる一様な適切性が保証される。
• $\mathbb{C}$ 上では、十分に高いランクの同次的完全交差は、弱線形および弱二次関数の両方に対して適切である。
• 補助的多様体 $E(X)$ 上の $k$-有理点の数は、$|\mathbb{P}(V)(k)| / q^{O_{d,m,L}(1)}$ で下から抑えられ、点数えを用いた次元推定が可能になる。
• $\mathbb{A}^N \times \mathbb{A}^N \times \mathbb{A}^N \times Z^r$ 内の多様体 $E^r \subset \mathbb{A}^N \times \mathbb{A}^N \times \mathbb{A}^N \times Z^r$ の次元は、適切なランク条件の下で、$z \in Z^r(\mathbb{C})$ に対して一様に $\dim(E^r_z) \leq 3N - s$（$s \geq 1$）を満たす。
• 文献[3]および[4]の結果を用いることで、完全交差に限らず、$\mathbb{C}$ および局所非アーチメデス的体上でのすべての高ランク同次的多様体に対し、適切性の結果が拡張可能である。