[論文レビュー] Extending partial representations of function graphs and permutation graphs

Pavel Klavík, Jan Kratochvı́l+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2012

Advanced Graph Theory Research参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、[0,1] 上の連続的実数値関数を用いた関数グラフおよび順列グラフの部分的表現の拡張の複雑さを調査する。全区間上で定義された関数（全関数）に対する部分的表現の拡張には多項式時間アルゴリズムが存在するが、関数が部分区間でのみ定義されている場合にはNP完全であることが示され、この二つの設定の間で複雑さの急激な転移が生じることが明らかになった。

ABSTRACT

Function graphs are graphs representable by intersections of continuous real-valued functions on the interval [0,1] and are known to be exactly the complements of comparability graphs. As such they are recognizable in polynomial time. Function graphs generalize permutation graphs, which arise when all functions considered are linear. We focus on the problem of extending partial representations, which generalizes the recognition problem. We observe that for permutation graphs an easy extension of Golumbic's comparability graph recognition algorithm can be exploited. This approach fails for function graphs. Nevertheless, we present a polynomial-time algorithm for extending a partial representation of a graph by functions defined on the entire interval [0,1] provided for some of the vertices. On the other hand, we show that if a partial representation consists of functions defined on subintervals of [0,1], then the problem of extending this representation to functions on the entire interval [0,1] becomes NP-complete.

研究の動機と目的

• 関数グラフおよび順列グラフの部分的表現の拡張の複雑さを研究すること。
• 関数が[0,1] 上の連続関数として定義されている場合、一部の頂点に対して関数が事前に割り当てられている状況でも、その拡張が依然として容易であるかどうかを特定すること。
• 幾何的グラフ表現拡張問題における多項式時間解法とNP完全性の境界を調査すること。
• 部分関数が全区間上に定義されているか部分区間上に定義されているかに応じた複雑さの二分岐を確立すること。

提案手法

• 比較可能性グラフのトランスティヴ方向付けを用いて、関数表現の部分的拡張問題を順序集合の拡張問題に還元する。
• 各頂点 u に対して、部分的表現における関数の相対的順序によって定義される区間の共通部分として、領域 Reg(u) を定義する。
• 補題5を適用：部分関数表現が拡張可能であるための必要十分条件は、任意の比較不能な頂点ペア u, v について、Reg(u) と Reg(v) が空でない共通部分を持つことである。
• 比較不能な頂点ペアの領域間の共通部分が空でないかをテストする多項式時間アルゴリズムを用いる。
• 部分関数が部分区間上に定義されている場合のNP完全性を示すために、3-SAT への還元を構築する。
• モジュラー分解と方向付け制約を用いて、グラフ構築における変数および節の構造を符号化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数が[0,1] 全体で定義された全関数を用いた関数グラフの部分的表現の拡張問題は、多項式時間で解けるか？
• RQ2 部分関数が[0,1] の部分区間でのみ定義されている場合、拡張問題の複雑さは顕著に変化するか？
• RQ3 関数グラフの拡張問題は、比較可能性グラフのトランスティヴ方向付けを用いて順序集合の拡張問題に還元可能か？
• RQ4 部分表現が全区間ではなく部分区間上で定義された関数によって与えられる場合、拡張問題はNP完全か？
• RQ5 グラフおよび部分的表現のどのような構造的性質が、拡張問題の tractability や intractability を決定づけるか？

主な発見

• 関数が[0,1] 全体で定義された関数を用いた関数グラフの部分的表現の拡張問題は、多項式時間で解ける。
• 部分的表現が[0,1] の部分区間でのみ関数で定義されている場合、問題はNP完全になる。
• 拡張可能性の必要十分条件は、任意の比較不能な頂点ペア u, v について、Reg(u) と Reg(v) が共通部分を持つことである。
• 3-SAT への還元により、NP完全性の結果がタイトで構造的であることが示された。変数および節の頂点が充足可能性制約を符号化している。
• 順列グラフの場合、Golumbicのアルゴリズムの拡張により多項式時間で解けるが、一般の関数グラフにはこのアプローチは適用できない。
• 区間の共通部分に基づく領域の特徴付けは、 tractable ケースにおける主要なアルゴリズム的ツールを提供する。