[論文レビュー] Extending Partial Representations of Subclasses of Chordal Graphs

Pavel Klavík, Jan Kratochvı́l+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2012

Advanced Graph Theory Research参考文献 17被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、弦的グラフおよびその部分クラス（区間グラフ、適切な区間グラフ、パスグラフ）の部分表現の拡張の複雑さを、下位の木構造を変更することによって調査する。ほとんどのバリアントについて問題がNP完全であることが示され、主な結果として3-Partitionおよびバインパッキング問題からの還元によってNP完全性が確立される。また、特定のパrameter化、特に部分木のサイズが有界である場合に固定パrameter可 tractable であることが同定される。

ABSTRACT

Chordal graphs are intersection graphs of subtrees of a tree T. We investigate the complexity of the partial representation extension problem for chordal graphs. A partial representation specifies a tree T' and some pre-drawn subtrees of T'. It asks whether it is possible to construct a representation inside a modified tree T which extends the partial representation (i.e, keeps the pre-drawn subtrees unchanged). We consider four modifications of T' and get vastly different problems. In some cases, it is interesting to consider the complexity even if just T' is given and no subtree is pre-drawn. Also, we consider three well-known subclasses of chordal graphs: Proper interval graphs, interval graphs and path graphs. We give an almost complete complexity characterization. We further study the parametrized complexity of the problems when parametrized by the number of pre-drawn subtrees, the number of components and the size of the tree T'. We describe an interesting relation with integer partition problems. The problem Partition is used for all NP-completeness reductions. The extension of interval graphs when the space in T' is limited is "equivalent" to the BinPacking problem.

研究の動機と目的

• さまざまな木構造の変更タイプの下で、弦的グラフおよびその部分クラスにおける部分表現の計算的複雑度を特徴づけること。
• 弦的グラフにおいて、部分表現拡張問題が認識問題よりも厳密に難しいかどうかを調査すること。既知の tractable なケースと対比する。
• 事前に描画された部分木の数、成分の数、部分木のサイズといったパラメータに関して、パラメータ化複雑度を調査すること。
• 未解決の問題を特定し、幾何的グラフクラスにおける表現拡張の今後の研究を導くこと。

提案手法

• ほとんどの拡張問題のバリアントについてNP完全性を示すために、NP完全な3-Partition問題からの還元を用いる。
• 部分木が木において持つHelly性を用いて、部分木内での表現拡張の妥当性を検証する。
• 部分木のサイズが有界である場合の固定パラメータ可 tractable な解析に、PQ-木技術および部分木列挙を適用する。
• 空間制限付きの区間表現拡張をモデル化するために、バインパッキング問題の還元を適応する。
• NP完全性の証明において接続性を保ち、制約を強制するために、部分木内にユニバーサル頂点を構築する。
• 3種類の弦的グラフの部分クラスに対して、4種類の木構造変更タイプ（Sub（部分木）、Add（追加）、Fixed（変更なし）、Both（組み合わせ））を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 両方の変更タイプ（部分木と追加）を許容する場合、パスグラフにおける部分表現拡張の複雑さはいかほどか（すなわち、「Both」タイプの場合）。
• RQ2 事前に描画された区間の数をパラメータとしてパラメータ化した場合、区間グラフにおける部分表現拡張問題は依然として tractable か。
• RQ3 パスグラフおよび弦的グラフにおいて、「Fixed」変更タイプの場合、部分木のサイズをパラメータとして固定パラメータ可 tractable か。
• RQ4 事前に描画された部分木の数、成分の数、部分木のサイズといった異なるパラメータ化が、拡張問題の複雑度にどのように影響するか。
• RQ5 PQ-木に基づくアプローチを、事前に描画された区間の数に関してXP時間で区間グラフの拡張問題を解けるように一般化できるか。

主な発見

• 弦的グラフにおける部分表現拡張問題は、唯一の例外を除きすべてのケースでNP完全である。これは、認識よりも厳密に難しいことを示しており、このクラスにおいて初めての事例である。
• 部分木が1つしか事前に描画されていない場合や、グラフが連結である場合でも、問題はNP完全のままである。これは、低複雑度のパラメータでは問題が単純化されないことを示している。
• 「Fixed」変更タイプの場合、部分木のサイズをパラメータとして固定パラメータ可 tractable であり、時間計算量O(n + m + 2^{t^{2^t}}) で解ける。ここでtは部分木のサイズである。
• 空間制限付きの区間グラフの拡張は、バインパッキング問題と等価である。これは、幾何的表現と組合せ最適化の間に強い関係があることを示している。
• 「Both」変更タイプにおけるパスグラフの問題は未解決のままであり、複雑度分類における唯一の未解決ケースである。
• k = 0 または k = 1 の場合、すべての問題がNP完全である。これは、最小限の事前描画でも複雑度が低下しないことを示しており、パスグラフにおける「Add」変更タイプの場合はkに関してW[1]-hardである。