[論文レビュー] Extending structures, Galois groups and supersolvable associative algebras

A. L. Agore, G. Militaru|arXiv (Cornell University)|May 26, 2013

Advanced Topics in Algebra参考文献 24被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、与えられた代数 $A$ の余次元 $\mathfrak{c}$ を持つ単位的結合的代数の拡張を、コホモロジー的データによって分類する新しい代数的構成である統一積（unified product）を導入する。非アーベルコホモロジー型の対象 $\mathcal{AH}^2_A(V,A)$ および $\mathcal{AH}^2(V,A)$ を用いて明示的な分類を提示し、ガロア群の記述や任意の体上での超可解結合的代数の分類（特に関数 2 を含む）に応用する。

ABSTRACT

Let $A$ be a unital associative algebra over a field $k$. All unital associative algebras containing $A$ as a subalgebra of a given codimension $\mathfrak{c}$ are described and classified. For a fixed vector space $V$ of dimension $\mathfrak{c}$, two non-abelian cohomological type objects are explicitly constructed: ${\mathcal A}{\mathcal H}^{2}_{A} \, (V, \, A)$ will classify all such algebras up to an isomorphism that stabilizes $A$ while ${\mathcal A}{\mathcal H}^{2} \, (V, \, A)$ provides the classification from Hölder's extension problem viewpoint. A new product, called the unified product, is introduced as a tool of our approach. The classical crossed product or the twisted tensor product of algebras are special cases of the unified product. Two main applications are given: the Galois group ${ m Gal} \, (B/A)$ of an extension $A \subseteq B$ of associative algebras is explicitly described as a subgroup of a semidirect product of groups ${ m GL}_k (V) times { m Hom}_k (V, \, A)$, where the vector space $V$ is a complement of $A$ in $B$. The second application refers to supersolvable algebras introduced as the associative algebra counterpart of supersolvable Lie algebras. Several explicit examples are given for supersolvable algebras over an arbitrary base field, including those of characteristic two whose difficulty is illustrated.

研究の動機と目的

• 単位的結合的代数の拡張構造問題を解くこと。具体的には、余次元 $\mathfrak{c}$ を持つ与えられた部分代数 $A$ を含むすべての代数を分類すること。
• 統一積を、クロス積やねじれテンソル積といった古典的構成を一般化する普遍的構成として、その定義と特徴づけを提示すること。
• $A$ における同型下で $A$ を保存する拡張を分類する $\mathcal{AH}^2_A(V,A)$ と、 Hölder の拡張問題の精神に従う拡張を分類する $\mathcal{AH}^2(V,A)$ という2つのコホモロジー的対象を定義すること。
• 余次元 1 の拡張に基づく再帰的構成を用いて、超可解結合的代数を、超可解リー代数の結合的類似物として定義・分類すること。
• 体の特性が 2 であっても含む任意の体上での 3 次元超可解代数の完全分類を、特性とねじれ微分作用素の分析を通じて提示すること。

提案手法

• 代数 $A$ と補空間 $V$ 間の作用とコサイクル的データを符号化する拡張データ $\Omega(A,V) = (\lhd, \rhd, \leftharpoonup, \rightharpoonup, f, \cdot)$ を用いて、統一積 $A\ltimes V$ を導入する。
• $A\ltimes V$ が単位的結合的代数となるための公理を確立し、既知の構成（例：クロス積）を一般化する。
• 2 つのコホモロジー的対象を定義する：$\mathcal{AH}^2_A(V,A)$ は同型下で $A$ を保存する拡張を分類し、$\mathcal{AH}^2(V,A)$ は Hölder の拡張問題の精神に従う拡張を分類する。
• 統一積を用いて、$k$ から始まり、連続する余次元 1 の拡張を経て有限次元代数を再帰的に構成する。
• ガロア群 $\mathrm{Gal}(B/A)$ を $\mathrm{GL}_k(V)\rtimes\mathrm{Hom}_k(V,A)$ に埋め込むことで、代数拡張のガロア群を計算する。
• 特性とねじれ微分作用素の分析を通じて、拡張の存在と分類を決定する。特に特性 2 の場合に注目する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された部分代数 $A$ を含み、余次元 $\mathfrak{c}$ を持つすべての単位的結合的代数をどのように分類できるか？
• RQ2 代数拡張 $A \subseteq B$ に対して、ガロア群 $\mathrm{Gal}(B/A)$ の構造はどのようなものか？
• RQ3 連続する余次元 1 の拡張によって超可解結合的代数を構成できるための条件は何か？
• RQ4 特性 2 における分類結果は、他の特性とどのように異なるか？
• RQ5 $A = k_{(0,1)}$ または $A = k_{(c,1)}$（$c \in T$）のとき、どのような代数が統一積として現れるか？

主な発見

• ガロア群 $\mathrm{Gal}(B/A)$ は、$B$ における $A$ の補空間 $V$ を用いて、$\mathrm{GL}_k(V)\rtimes\mathrm{Hom}_k(V,A)$ の部分群として埋め込まれる。
• $\mathrm{char}(k) \neq 2$ かつ $k = k^2$ のとき、同型類を除く 3 次元超可解代数の集合には 2 つの同型類 $A^1_3$ と $A^1_4$ がある。それぞれ因子集合類 $\overline{(0,0,0)}$ と $\overline{(0,1,0)}$ に対応する。
• $\mathrm{char}(k) \neq 2$ かつ $k \neq k^2$ のとき、統一積構成により、平方類でパラメータ化された追加の代数 $B_2(d)$（$d \in S$）が得られる。
• 特性 2 のとき、分類には代数 $C^1_3$、$C^1_4(c)$、$C^1_5$、$D_2(\delta)$ が含まれる。$c \in T$、$\delta \in R$ であり、$c \neq 0$ のとき $y^2 + y + c = 0$ に解がないことが反映されている。
• $c \neq 0$ のとき、代数 $k_{(c,1)}$ には特性が存在しないため、それを拡張する 3 次元超可解代数は存在せず、この場合 $\mathcal{F}(k_{(c,1)}) = \emptyset$ である。
• 3 次元超可解代数の完全分類は、体の特性と $k = k^2$ かどうかの条件によって 4 つの場合に分けられ、最も複雑な場合で最大 15 個の同型類が得られる。