[論文レビュー] Extending the class of solvable potentials. IV Inverse square potential with a rich spectrum

A. D. Alhaidari|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2017

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、三重対角表現法（TRA）を用いてS波チャンネルにおける新しい4パラメータ逆2乗ポテンシャルを導入する。TRAはシュレーディンガー方程式を直交多項式を用いて解ける3項再帰関係に再定式化する。主な貢献は、複素エネルギー平面における複素スケーリングを用いた解析により、束縛状態および共鳴状態を含む豊富なスペクトル構造の同定である。

ABSTRACT

This is the fourth article in a series where we succeed in enlarging the class of exactly solvable quantum systems. We do that by working in a complete set of square integrable basis that carries a tridiagonal matrix representation for the wave operator. Consequently, the matrix wave equation becomes a three-term recursion relation for the expansion coefficients of the wavefunction. Finding solutions of this recursion relation in terms of orthogonal polynomials is equivalent to solving the original problem. This method, called the Tridiagonal Representation Approach (TRA), gives a larger class of solvable potentials. Here, we obtain S-wave solutions for a new four-parameter 1/r2 singular but short-range radial potential with an elaborate configuration structure and rich spectral property. A particle scattered by this potential has to overcome a barrier then could be trapped within the potential valley in a resonance or bound state. Using complex scaling (complex rotation), we display the rich spectral property of the potential in the complex energy plane for non-zero angular momentum and show how this structure varies with the physical parameters.

研究の動機と目的

• 標準的な形を超えた厳密可解な量子ポテンシャルのクラスを拡張すること。
• 4つの調整可能なパラメータを有する特異的で短距離型の1/r²ポテンシャルのスペクトル的性質を調査すること。
• このようなポテンシャルにおける束縛状態および共鳴状態の存在と挙動を、高度な解析的手法を用いて探求すること。
• 三重対角表現法（TRA）が非自明なポテンシャル構造を有する複雑な量子系を解く際の有効性を示すこと。

提案手法

• 波動関数を完備な可積分性を持つ基底関数の集合で展開することで、三重対角表現法（TRA）を適用する。
• 波動演算子を三重対角行列として表現し、シュレーディンガー方程式を展開係数に関する3項再帰関係に変換する。
• 再帰関係の解は直交多項式を用いて構成され、厳密可解性が達成される。
• スペクトル解析のため、連続スペクトルを複素エネルギー平面に写像するために複素スケーリング（複素回転）が用いられる。
• この手法により、ポテンシャルの4つの物理的パラメータに関するエネルギースペクトルの体系的探索が可能となる。
• 複素エネルギー平面における極の分布を用いて、束縛状態および共鳴状態の同定が可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異的で短距離型の4パラメータ逆2乗ポテンシャルは、TRAフレームワークを用いて厳密可解可能か？
• RQ2 この新しいポテンシャルにおける束縛状態および共鳴状態の性質は何か？また、ポテンシャルパラメータにどのように依存するか？
• RQ3 複素スケーリングを施した場合、ポテンシャルのスペクトル構造は複素エネルギー平面でどのように変化するか？
• RQ4 ポテンシャル障壁は、共鳴散乱および束縛状態形成を可能にする役割を果たすか？
• RQ5 TRA法は、標準的な可解モデルを超える豊富なスペクトル的特徴を有するポテンシャルへと効果的に拡張可能か？

主な発見

• 提示された4パラメータ逆2乗ポテンシャルは、その複雑なポテンシャル井戸および障壁構造のおかげで、束縛状態および共鳴状態を支持する。
• 複素スケーリングを用いた複素エネルギー平面における完全なスペクトル的特徴の特定により、共鳴状態に対応する極の豊富な分布が明らかになった。
• TRA法は、導出された3項再帰関係に対する直交多項式の解を用いて、正確な解を効果的に得た。
• ポテンシャルは非自明な配置構造を有しており、複数の束縛状態および共鳴散乱チャネルを可能にする。
• エネルギースペクトルは4つの物理的パラメータの変化に伴い体系的に変化し、調整可能なスペクトル的特徴を示した。
• ポテンシャルのスペクトル的進化を示す動画アニメーションは要請に応じて提供可能であり、複素エネルギー平面における動的な変化を可視化している。