[論文レビュー] Extending the Fisher metric to density matrices

D. Petz, Cs. Sudar|ArXiv.org|Feb 27, 2001

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 11被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、有限次元密度作用素の空間における単調なリーマン計量を、作用素単調関数を用いて特徴付けることにより、古典的 Fisher 情報計量を量子密度作用素へ拡張する。このような計量は、古典統計における一意な Fisher 計量とは異なり、豊富に存在することを証明し、純粋状態への径方向拡張が、関連する作用素単調関数が 0 で非ゼロである場合に限り、Fubini-Study 計量を与えることを示している。

ABSTRACT

Chentsov studied Riemannian metrics on the set of probability measures from the point of view of decision theory. He proved that up to a constant factor the Fisher information is the only metric which is monotone under stochastic transformations. The present paper deals with monotone metrics on the space of finite density matrices on the basis motivated by quantum mechanics. A characterization of those metrics is given in terms of operator monotone functions. Several concrete metrics are constructed and analyzed, in particular, instead of the uniqueness in the probabilistic case, there is a large class of monotone metrics. Some of those appeared already in the physics literature a long time ago. A limiting procedure to pure states is discussed as well.

研究の動機と目的

• 有限次元ヒルベルト空間における密度作用素の量子的設定へ、古典的 Fisher 情報計量を一般化すること。
• 量子確率的写像（つまり、完全正則でトレースを保存する写像）に関して単調である密度作用素空間上のリーマン計量を特定し、特徴づけること。
• 単調なリーマン計量と正の実数直線上の作用素単調関数の間の一対一対応を確立すること。
• 密度作用素が純粋状態に径方向射影により近づく際のこれらの計量の極限挙動を調査すること。
• 密度作用素空間上の計量が純粋状態の多様体へ滑らかに拡張できる条件を特定すること。

提案手法

• 古典統計における単調計量のChentsovの枠組みを、完全正則写像を介して量子力学に適応する。
• 作用素単調関数 f: R⁺ → R⁺ を用いて、密度作用素 D における計量をヒルベルト＝シュミット内積を介して f(D) で定義することにより、密度作用素空間上の単調なリーマン計量を特徴付ける。
• 非退化行列（内部）から純粋状態（境界）への径方向射影を、最大固有値を用いて径方向を定義する。
• 径方向射影の微分の核の直交補空間への射影によって、純粋状態における接ベクトルの水平上昇を定義する。
• 特に 2×2 の場合において、固有値と作用素単調関数 f を用いて、上昇した接ベクトルにおける計量を計算する。
• 径方向経路に沿って純粋状態に近づく際の g の極限を取ることにより、密度作用素上の計量 g を純粋状態上の計量 k へ径方向拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 密度作用素空間上のどのリーマン計量が量子確率的写像に関して単調であり、それらはどのように体系的に特徴づけられるか？
• RQ2 作用素単調関数は、量子状態空間上の計量パラメータ化において果たす役割は何か？
• RQ3 密度作用素上の単調計量は境界である純粋状態へ連続的に拡張可能か？そのような拡張が存在する条件は何か？
• RQ4 密度作用素上の単調計量を径方向に拡張した場合、得られる純粋状態多様体上の計量は何か？
• RQ5 単調計量の径方向拡張は、純粋状態上の標準的 Fubini-Study 計量とどのように関係するか？

主な発見

• 密度作用素空間上の単調リーマン計量は、作用素単調関数 f: R⁺ → R⁺ と一対一対応する。
• 古典的状況では Fisher 計量がスカラー倍を除き一意的であるのに対し、量子的状況では作用素単調関数によってパラメータ化される、多数のこのような計量が存在する。
• 単調計量 g の径方向拡張が純粋状態空間へ存在するための必要十分条件は、g に関連する作用素単調関数 f に対して f(0) ≠ 0 であることである。
• f(0) ≠ 0 のとき、径方向拡張により純粋状態多様体上で Fubini-Study 計量が得られ、そのスケーリングは 1/f(0) に比例する。
• 2×2 の場合、純粋状態における接ベクトルの水平上昇は明示的に計算可能であり、計量の選択に依存せず、固有値の差にのみ依存する。
• 径方向経路に沿った計量の極限は、f(0) ≠ 0 のときに限り有限かつ適切に定義され、純粋状態への滑らかな拡張を保証する。