[論文レビュー] Extending the Harper Identity to Iterated Belief Change

Jake Chandler, Richard Booth|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2016

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 21被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、元来単一ステップの信念変更と縮約の間の関係を結ぶハーパー恒等式を、反復的信念変更へと拡張する。反復的縮約は、初期信念の妥当性順序と¬Aによる更新の順序を組み合わせる、新しいタイプの作用素によって定義される。『TeamQueueコンビネータ』を導入することで非自明性を回避し、更新の公理から反復的縮約の公理を導出可能にするとともに、自然な更新作用素に対応する新たな縮約作用素を構築する。

ABSTRACT

The field of iterated belief change has focused mainly on revision, with the other main operator of AGM belief change theory, i.e. contraction, receiving relatively little attention. In this paper we extend the Harper Identity from single-step change to define iterated contraction in terms of iterated revision. Specifically, just as the Harper Identity provides a recipe for defining the belief set resulting from contracting A in terms of (i) the initial belief set and (ii) the belief set resulting from revision by not-A, we look at ways to define the plausibility ordering over worlds resulting from contracting A in terms of (iii) the initial plausibility ordering, and (iv) the plausibility ordering resulting from revision by not-A. After noting that the most straightforward such extension leads to a trivialisation of the space of permissible orderings, we provide a family of operators for combining plausibility orderings that avoid such a result. These operators are characterised in our domain of interest by a pair of intuitively compelling properties, which turn out to enable the derivation of a number of iterated contraction postulates from postulates for iterated revision. We finish by observing that a salient member of this family allows for the derivation of counterparts for contraction of some well known iterated revision operators, as well as for defining new iterated contraction operators.

研究の動機と目的

• 信念動態研究における不均衡、すなわち反復的更新は十分に研究されているが、反復的縮約は未だ未発達であるという問題に対処すること。
• 単一ステップの更新と縮約を結ぶハーパー恒等式を、反復的状況へと拡張し、Aの縮約を¬Aによる更新に基づいて定義すること。
• 反復的信念変更における非自明性を回避するための妥当性順序の組み合わせ方を特定する作用素の族を同定すること。
• このような作用素を用いて、反復的縮約の公理を反復的更新の公理から導出可能であることを示すこと。
• 既知の更新作用素（例：自然更新作用素）に対応する新たな反復的縮約作用素を構築すること。

提案手法

• Aの縮約後の妥当性順序を、初期の妥当性順序と¬Aによる更新後の順序を用いて定義する枠組みを提案する。
• 『TeamQueueコンビネータ』を導入する。これは全順序（妥当性順序）を組み合わせる二項作用素の族であり、以下の2つの直感的な性質を満たす：集合内での相対的順序の保存、および和集合における弱い保存性。
• この族の代表的メンバーとして同期的TeamQueue（STQ）コンビネータを用い、具体的な結果を導出する。
• 論理的および順序理論的推論を用いて、提案された作用素が非自明性を回避し、核心的な信念変更公理を満たすことを証明する。
• これらのコンビネータを用いて、自然な更新作用素や制限付き更新作用素といった既知の更新作用素から反復的縮約作用素を導出する。
• 付録における形式的証明に依拠し、導出された作用素の整合性と正しさを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハーパー恒等式は、単一ステップから反復的信念変更へと意味的に拡張可能か？
• RQ2 妥当性順序の組み合わせ作用素が反復的縮約における非自明性を回避するには、どのような条件を満たす必要があるか？
• RQ3 このような作用素を用いて、反復的縮約の公理を反復的更新の公理から導出可能か？
• RQ4 特定のコンビネータ、すなわち同期的TeamQueue（STQ）は、自然な更新作用素に対応する縮約作用素を生成するか？
• RQ5 この枠組みを用いて、既知の更新作用素から、新たな良好な反復的縮約作用素を構築可能か？

主な発見

• ハーパー恒等式を反復的信念変更へと単純に拡張すると、非自明な信念変更が無効化されるという非自明性に陥る。
• 非自明性を回避し、以下の2つの直感的性質を満たす作用素の族、『TeamQueueコンビネータ』が同定された：相対的順序の保存、および和集合における弱い保存性。
• 任意のTeamQueueコンビネータを用いることで、対応する反復的更新の公理から反復的縮約の公理を導出可能である。
• 同期的TeamQueue（STQ）コンビネータを用いることで、基礎となる更新作用素が特定の単調性条件を満たす場合、自然な縮約作用素と論理的に同等となる縮約作用素を導出可能である。
• STQを用いて、自然な更新作用素に対応する新たな反復的縮約作用素を構築した。これにより、既知の更新作用素に対し、体系的な方法で対応する縮約作用素を生成できる。
• この枠組みは、反復的更新と縮約の形式的構造をうまく結びつけ、片方の分野からもう片方の分野へと結果を移転するための原則的かつ整合的な手法を提供した。