[論文レビュー] Extending the Lambda Calculus to Express Randomized and Quantumized Algorithms

Philip Maymin|ArXiv.org|Dec 31, 1996

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 8被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、それぞれのランダム化および量子化アルゴリズムをモデル化するために、ラムダ計算の形式的拡張としてλ-pおよびλ-q計算を導入する。観測を明示的に扱い、計算を『ポテンティア』（重ね合わせおよび確率分布）上で操作することにより、量子アルゴリズムの高水準な指定を可能にするとともに、λ-q計算における効率的な充足可能性解決を示している。

ABSTRACT

This paper introduces a formal metalanguage called the lambda-q calculus for the specification of quantum programming languages. This metalanguage is an extension of the lambda calculus, which provides a formal setting for the specification of classical programming languages. As an intermediary step, we introduce a formal metalanguage called the lambda-p calculus for the specification of programming languages that allow true random number generation. We demonstrate how selected randomized algorithms can be programmed directly in the lambda-p calculus. We also demonstrate how satisfiability can be solved in the lambda-q calculus.

研究の動機と目的

• 古典的計算のためのチャーチのラムダ計算に類似した形式的計算体系を用いて、量子計算を形式化すること。
• 量子ハードウェアの進展にもかかわらず、量子プログラミングのための形式的ソフトウェア基盤の欠如に取り組むこと。
• 量子力学の確率的および重ね合わせ的性質を反映するために、観測および測定を計算モデルに明示的に組み込むこと。
• 低水準の量子チューリングマシン形式的記述を避けて、量子アルゴリズムの高水準な指定と推論を可能にすること。
• 新しいメタ言語を通じて、量子計算と関数型プログラミングの関係を調査すること。

提案手法

• 確率分布を返すランダム関数をモデル化するため、ラムダ計算にλ-p計算を拡張する。
• 符号付き項（干渉によって相殺可能な項）を許容するように、λ-pを拡張してλ-q計算を導入する。
• 分布または重ね合わせを第一級の値として扱い、測定時には唯一の項が観測されるようにする。
• β還元およびγ還元を用いた形式的置換および還元系を採用し、ポテンティアの世界における計算をシミュレートする。
• 妥当な論理式および等価性を定義し、計算体系における正しさと同等性の推論を可能にする。
• 干渉によって偽のリテラルが相殺されるように項を用いることで、λ-q計算において充足可能性が効率的に解けることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 チャーチのラムダ計算が古典的アルゴリズムを表現するのと同様に、量子アルゴリズムを表現する形式的計算体系を開発できるか？
• RQ2 関数型プログラミングフレームワークにおいて、観測および測定の行為をどのように明示的にモデル化できるか？
• RQ3 量子干渉（符号が反対の項の相殺）を用いることで、古典的または確率的対比よりもより効率的なアルゴリズムを設計できるか？
• RQ4 λ-q計算は、量子チューリングマシンや他の量子計算モデルをどの程度シミュレートできるか？
• RQ5 λ-q計算は、実用的な量子アルゴリズムプログラミング言語として機能できるか、それとも理論的探求に限定されるか？

主な発見

• λ-q計算は、偽のリテラルを干渉による相殺によって排除することで、ブール充足可能性問題を効率的に解ける。
• λ-p計算は確率的チューリングマシンをシミュレートでき、ランダムアルゴリズムの形式的基盤を提供する。
• λ-q計算は量子チューリングマシンをシミュレートでき、これは量子計算に適した形式的体系であることを示唆している。
• λ-q計算における観測は本質的に確率的かつ非決定的であり、干渉が終了した後、重ね合わせから結果が抽出される。
• 論文では、入力論理式が充足可能である場合にのみ観測結果が真になるような項をλ-q計算内で構成できることを示しており、誤差確率は有界である。
• 充足不可能な論理式を観測可能にするために恒等項を挿入する方法は、最悪ケースで50％の誤差確率をもたらすが、繰り返し実験することで不確実性を任意の有意水準まで低減できる。