[論文レビュー] Extension complexity of stable set polytopes of bipartite graphs

Manuel Aprile, Yuri Faenza+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、二部グラフの安定集合ポリトープの拡張複雑度に関する、改善された上界と下界を確立する。幾何的構成における長方形被覆と中心付き長方形を用いて、上界 $ O(n^2 / \log n) $ を証明し、有限射影平面の接続グラフに対して下界 $ \Omega(n \log n) $ を示し、このクラスのグラフにおいて初めて非線形拡張複雑度を実証する。

ABSTRACT

The extension complexity $\mathsf{xc}(P)$ of a polytope $P$ is the minimum number of facets of a polytope that affinely projects to $P$. Let $G$ be a bipartite graph with $n$ vertices, $m$ edges, and no isolated vertices. Let $\mathsf{STAB}(G)$ be the convex hull of the stable sets of $G$. It is easy to see that $n \leqslant \mathsf{xc} (\mathsf{STAB}(G)) \leqslant n+m$. We improve both of these bounds. For the upper bound, we show that $\mathsf{xc} (\mathsf{STAB}(G))$ is $O(\frac{n^2}{\log n})$, which is an improvement when $G$ has quadratically many edges. For the lower bound, we prove that $\mathsf{xc} (\mathsf{STAB}(G))$ is $Ω(n \log n)$ when $G$ is the incidence graph of a finite projective plane. We also provide examples of $3$-regular bipartite graphs $G$ such that the edge vs stable set matrix of $G$ has a fooling set of size $|E(G)|$.

研究の動機と目的

• 二部グラフの安定集合ポリトープの拡張複雑度に関する既知の上界と下界を改善すること。
• 二部グラフ $ G $ に対して $ n \leq \mathsf{xc}(\mathsf{STAB}(G)) \leq n + m $ という自明な境界が著しくタイトにできるかを同定すること。
• 頂点数に対して線形成長を上回る拡張複雑度を示す、明示的な二部グラフの族を構成すること。
• フェイリング集合や長方形被覆といった現在の技術の限界を、より強い下界を導くために探ること。

提案手法

• 著者らは、幾何的枠組みにおいて長方形被覆と中心付き長方形を用い、安定集合ポリトープのコンactな拡張を構成する。
• 頂点と直線を整理するための階層的木構造 $ T(q+1) $ を定義し、被覆長方形の再帰的構築を可能にする。
• 各中心点 $ \mathsf{c} $ に対して、複数の直線からの長方形を、カバーを保ちつつ総数を削減する和集合演算を組み合わせる。
• 同じ中心を持つ複数の長方形を1つの最大長方形に統合する還元技術を適用し、長方形総数を $ q $ 倍に削減する。
• 有限射影平面の性質を活用して、フェイリング集合のサイズが大きなグラフを構成し、強力な下界を可能にする。
• スラック行列における特別なエントリの概念を用い、注意深く構築された中心付き長方形の集合が、すべてのこのようなエントリをカバーすることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二部グラフ $ G $ における $ \mathsf{STAB}(G) $ の拡張複雑度に対する上界 $ n + m $ は、密度の高いグラフにおいて改善可能か？
• RQ2 頂点数 $ n $ に対して線形成長を上回る速度で拡張複雑度が増加するような、二部グラフの族が存在するか？
• RQ3 3正則二部グラフの辺対安定集合行列におけるフェイリング集合の最大サイズは何か？
• RQ4 現在の長方形被覆とフェイリング集合技術は、他のグラフクラスに対しても非線形下界を導くために拡張可能か？
• RQ5 二部グラフのどの構造的性質が、その安定集合ポリトープの高次な拡張複雑度を引き起こすか？

主な発見

• 任意の $ n $ 頂点をもつ二部グラフ $ G $ に対して、$ \mathsf{STAB}(G) $ の拡張複雑度は高々 $ O(n^2 / \log n) $ である。これは $ m = \Omega(n^2) $ のとき、自明な $ n + m $ の境界を改善する。
• 有限射影平面の接続グラフに対して、拡張複雑度は $ \Omega(n \log n) $ である。これは、二部グラフの安定集合ポリトープにおいて初めて知られる非線形下界である。
• 辺対安定集合行列にサイズが辺数と等しいフェイリング集合を許容する3正則二部グラフが存在し、高次な複雑度を示している。
• 中心付き長方形と階層的木構造を用いた長方形被覆の構成により、長方形数を $ O(nq\log q) $ から $ O(n\log n) $ に削減でき、上界の改善が可能になった。
• 本稿では、長方形被覆とフェイリング集合を用いた現在のアプローチが、$ \Omega(n \log n) $ を超える下界を導くことはできないと示しており、さらなる向上には新技術の開発が不可欠であることを示唆している。