[論文レビュー] Extension groups of tautological sheaves on Hilbert schemes

Andreas Krug|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、滑らかな準射影的表面の点のヒルベルトスキーム上の自己的層およびねじれた自己的対象の拡張群について、Bridgeland–King–Reid同値とL. Scalaの結果を用いて明示的な公式を提供する。主な貢献は、これらの拡張群を、元の表面上のExt群およびラインバンドル間のExt群の対称冪を含むテンソル積の直和として表す自然な同型である。

ABSTRACT

We give formulas for the extension groups between tautological sheaves and more general between tautological objects twisted by a determinant line bundle on the Hilbert scheme of points on a smooth quasi-projective surface. We do this using L. Scala's results about the image of tautological sheaves under the Bridgeland-King-Reid equivalence. We also compute the Yoneda products in terms of these formulas.

研究の動機と目的

• 滑らかな準射影的表面の点のヒルベルトスキーム上の自己的層およびねじれた自己的対象の間の拡張群を計算すること。
• これらの拡張群を元の表面およびそのラインバンドルの不変量を用いて表現すること。
• ヒルベルトスキームの導来圏におけるYoneda積構造を特定すること。
• 表面の標準束が自明である場合に、その導来圏に球面的対象または$\mathbb{P}^n$-対象が存在しないことの研究に結果を適用すること。

提案手法

• ヒルベルトスキームの導来圏を表面の$ n $重積上の$\mathfrak{S}_n$-不変導来圏に結びつけるBridgeland–King–Reid同値を用いる。
• L. Scalaの結果を応用し、自己的層の像を用いてExt群を計算する。
• $X^n$上の$\mathfrak{S}_n$-クラスターの普遍族を用いて、フーリエ＝ムーカイ変換により自己的対象を定義する。
• 拡張群の分解を、$\operatorname{Ext}^*(E^\bullet \otimes L, F^\bullet \otimes M)$および$\operatorname{Ext}^*(L,M)$の対称冪を含む直和として導出する。
• $n$重積上のExt群のテンソル積における$\mathfrak{S}_n$-不変要素を解析することで、Yoneda積を計算する。
• 群作用の対称性および置換の組み合わせ的和を用いて、Yoneda積の成分を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対象$E^\bullet, F^\bullet \in \operatorname{D}^b(X)$およびラインバンドル$L,M$に対して、$\operatorname{Ext}^*((E^\bullet)^{[n]} \otimes \mathcal{D}_L, (F^\bullet)^{[n]} \otimes \mathcal{D}_M)$の構造は何か？
• RQ2 ヒルベルトスキームの導来圏におけるYoneda積は、表面上のデータをどのように表現できるか？
• RQ3 ねじれた自己的対象$(F^\bullet)^{[n]}$が、$X^{[n]}$上で球面的対象または$\mathbb{P}^n$-対象でなくなる条件は何か？
• RQ4 自己的層間の拡張群は、表面の不変量の対称冪成分に分解可能か？
• RQ5 ヒルベルトスキームの文脈において、自己的対象のBridgeland–King–Reid同値による正確な像は何か？

主な発見

• 次のような自然な同型（次数付きベクトル空間として）が成り立つ：$\operatorname{Ext}^*((E^\bullet)^{[n]} \otimes \mathcal{D}_L, (F^\bullet)^{[n]} \otimes \mathcal{D}_M) \cong \operatorname{Ext}^*(E^\bullet \otimes L, F^\bullet \otimes M) \otimes S^{n-1}\operatorname{Ext}^*(L,M) \oplus \operatorname{Ext}^*(E^\bullet \otimes L, M) \otimes \operatorname{Ext}^*(L, F^\bullet \otimes M) \otimes S^{n-2}\operatorname{Ext}^*(L,M)$。
• ヒルベルトスキームの導来圏におけるYoneda積は、対称積およびテンソル積を含む5つの項の和として与えられ、$\mathfrak{S}_n$-不変な置換の和から生じる係数を含む。
• 自己的関手$(-)^{[n]}$は忠実であるが全射ではない。これは、誘導された準同型$\varphi^{[n]} \otimes \operatorname{id}_{\mathcal{D}_M}$が分解の特定の成分に対応することによって示される。
• 標準束が自明な射影的表面$X$に対して、$X^{[n]}$上のねじれた自己的対象は、$\operatorname{D}^b(X^{[n]})$において決して球面的対象または$\mathbb{P}^n$-対象ではない。
• $E^\bullet = F^\bullet$がラインバンドルで$L=M=\mathcal{O}_X$のとき、拡張群の公式は既知のスカラのコホモロジー公式（1.1）に還元され、$\operatorname{H}^*(X^{[n]}, F^{[n]}) \cong \operatorname{H}^*(F) \otimes S^{n-1}\operatorname{H}^*(\mathcal{O}_X)$が得られる。
• Yoneda積が分解における期待される合成と一致することから、同型は導来圏の自然構造と整合する。