[論文レビュー] Extension of Euclidean operator radius inequalities

Mohammad Sal Moslehian, Mostafa Sattari+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2015

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 7被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、ヒルベルト空間上の有界線形作用素の $ n $-組に対して一般化された $ w_p $-ノルムを導入し、ユークリッド作用素半径を $ L^p $-型ノルムへと拡張する。$ w_p $ に対する鋭い上界および下界を確立し、特に $ f(t)g(t) = t $ を満たす作用素関数 $ f $ と $ g $ を含む重要な不等式を提示する。これは、古典的な数値半径の境界を $ p $-ノルムおよび $ n $-組の作用素へと一般化するものである。

ABSTRACT

To extend the Euclidean operator radius, we define $w_p$ for an $n$-tuples of operators $(T_1,\ldots, T_n)$ in $\mathbb{B}(\mathscr{H})$ by $w_p(T_1,\ldots,T_n):= \sup_{\| x \| =1} \left(\sum_{i=1}^{n}| \langle T_i x, x angle |^p ight)^{\frac1p}$ for $p\geq1$. We generalize some inequalities including Euclidean operator radius of two operators to those involving $w_p$. Further we obtain some lower and upper bounds for $w_p$. Our main result states that if $f$ and $g$ are nonnegative continuous functions on $\left[ 0,\infty ight) $ satisfying $f\left( t ight) g\left(t ight) =t$ for all $t\in \left[ 0,\infty ight) $, then \begin{equation*} w_{p}^{rp}\left( A_{1}^{\ast }T_{1}B_{1},\ldots ,A_{n}^{\ast }T_{n}B_{n} ight) \leq \frac{1}{2}\left\Vert \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\Big( \left[ B_{i}^{\ast }f^{2}\left( \left\vert T_{i} ight\vert ight) B_{i} ight] ^{rp}+\left[ A_{i}^{\ast }g^{2}\left( \left\vert T_{i}^{\ast } ight\vert ight) A_{i} ight] ^{rp}\Big) ight\Vert \end{equation*} for all $p\geq 1$, $r\geq 1$ and operators in $ \mathbb{B}(\mathscr{H})$.

研究の動機と目的

• 作用素の $ n $-組に対する新しい $ L^p $-型ノルム $ w_p $ を用いて、ユークリッド作用素半径を一般化すること。
• 数値半径およびユークリッド作用素半径の既知の不等式を、新しい $ w_p $-ノルムフレームワークへと拡張すること。
• 特に $ f(t)g(t) = t $ を満たす作用素関数を含む、$ w_p $ の鋭い上界および下界を導出すること。
• $ p \geq 1 $ の場合に、既存の数値半径およびデカルト分解に関する結果を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• $ p \geq 1 $ に対して、$ w_p(T_1, \ldots, T_n) = \sup_{\|x\|=1} \left( \sum_{i=1}^n |\langle T_i x, x \rangle|^p \right)^{1/p} $ を定義し、$ p=2 $ の場合のユークリッド半径を一般化する。
• ミンコフスキーの不等式を用いて、$ w_p $ が $ \mathbb{B}(\mathscr{H})^n $ 上のノルムであることを確立する。
• 古典的不等式の適用：ジェンセンの不等式、コーシー＝シュワルツ型推定、作用素平均のマッカーシーの不等式。
• 関数計算を活用し、$ f, g $ を $ [0, \infty) $ 上の非負連続関数と仮定し、$ f(t)g(t) = t $ を満たすものとする。
• $ f^2(|T_i|) $ および $ g^2(|T_i^*|) $ を含む式の作用素ノルム推定を用いて、$ w_p^{rp} $ のノルム不等式を導出する。
• $ |\langle T_i x, x \rangle| \leq \| f(|T_i|)x \| \| g(|T_i^*|)x \| $ という恒等式を用いて、作用素関数による内積の制御を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユークリッド作用素半径は、作用素の $ n $-組に対してどのように $ L^p $-型ノルムへと一般化できるか？
• RQ2 作用素関数を用いた $ w_p $-ノルムの鋭い上界および下界は、どのように表されるか？
• RQ3 古典的な数値半径不等式は、$ p \geq 1 $ および $ n \geq 2 $ の場合に $ w_p $ へと拡張可能か？
• RQ4 $ f(t)g(t) = t $ を満たす作用素関数 $ f $ と $ g $ が $ w_p^{rp} $ の境界に果たす役割は何か？
• RQ5 $ A_i^* T_i B_i $ のような変換の下で、$ w_p $ の境界はどのように振る舞うか？

主な発見

• 主な結果として、$ p \geq 1 $、$ r \geq 1 $ に対して、$ w_p^{rp}(A_1^* T_1 B_1, \ldots, A_n^* T_n B_n) \leq \frac{1}{2} \left\| \sum_{i=1}^n \left( [B_i^* f^2(|T_i|) B_i]^{rp} + [A_i^* g^2(|T_i^*|) A_i]^{rp} \right) \right\| $ が成り立つ。
• $ \alpha = \frac{1}{2} $ の場合、不等式は $ w_p^p(T_1, \ldots, T_n) \leq \frac{1}{2} \left\| \sum_{i=1}^n (|T_i|^p + |T_i^*|^p) \right\| $ に簡略化される。
• 2つの作用素 $ B, C $ に対して、$ w_p^p(B, C) \leq \left\| \alpha |B|^p + (1-\alpha)|B^*|^p + \alpha |C|^p + (1-\alpha)|C^*|^p \right\| $ が成り立ち、等号成立は $ \alpha = \frac{1}{2} $ のときである。
• 2番目の境界は、$ r \geq 1 $、$ p \geq 1 $ の場合に有効である：$ w_p(T_1, \ldots, T_n) \leq \left( \sum_{i=1}^n \| \alpha |T_i|^{2r} + (1-\alpha) |T_i^*|^{2r} \|^{p/(2r)} \right)^{1/p} $。
• $ \alpha = \frac{1}{2} $ の場合、$ w_p(B, C) \leq \frac{1}{2^{1/(2r)}} \left( \| |B|^{2r} + |B^*|^{2r} \|^{p/(2r)} + \| |C|^{2r} + |C^*|^{2r} \|^{p/(2r)} \right)^{1/p} $ が得られる。
• これらの結果は、既知の数値半径およびユークリッド半径の境界を一般化し、$ p \geq 1 $ の下で、単一の $ w_p $-フレームワークへと統一的に統合する。