[論文レビュー] Extension of holomorphic functions and cohomology classes from non reduced analytic subvarieties

Jean-Pierre Demailly|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、滑らかでない解析的部分多様体（擬・シュワルツ函数の重み関数に付随する乗数イデアル層の零点集合として定義される）に対するOhsawa-Takegoshi $L^2$ 拡張定理を拡張する。Bochner-Kodaira 技法における $L^2$ 近似を用いることで、このような部分多様体上でコhomology類の制限準同型写像の上への性質を、最適な曲率条件のもとで確立する。これは、特異的かつ非還元的状況への古典的拡張結果の顕著な一般化である。

ABSTRACT

The goal of this survey is to describe some recent results concerning the L 2 extension of holomorphic sections or cohomology classes with values in vector bundles satisfying weak semi-positivity properties. The results presented here are generalized versions of the Ohsawa-Takegoshi extension theorem, and borrow many techniques from the long series of papers by T. Ohsawa. The recent achievement that we want to point out is that the surjectivity property holds true for restriction morphisms to non necessarily reduced subvarieties, provided these are defined as zero varieties of multiplier ideal sheaves. The new idea involved to approach the existence problem is to make use of L 2 approximation in the Bochner-Kodaira technique. The extension results hold under curvature conditions that look pretty optimal. However, a major unsolved problem is to obtain natural (and hopefully best possible) L 2 estimates for the extension in the case of non reduced subvarieties -- the case when Y has singularities or several irreducible components is also a substantial issue.

研究の動機と目的

• 非還元的解析的部分多様体へのOhsawa-Takegoshi $L^2$ 拡張定理の一般化を図ること。
• このような部分多様体上のコhomology類の制限準同型写像の上への性質を確立すること。
• 特異性や複数の既約成分を含む状況下で、拡張定理の最適な曲率条件を達成すること。
• 非還元的部分多様体上での拡張に対する自然な $L^2$ 評価の欠如に対処すること。
• 複雑な構造、特異性、複数の成分を含む複素部分多様体上での補間および拡張のための枠組みを提供すること。

提案手法

• $(n,q)$-形式に値をとる $K_X \otimes E \otimes \mathcal{I}(he^{-\psi})$ の $L^2$ 評価を適用する。
• 曲率条件 $\Theta_{E,h} + (1+\alpha\delta)i\partial\overline{\partial}\psi \geq 0$ を $\alpha = 0,1$ に対して課し、測度の意味での正定性を保証する。
• 局所化のための切断関数 $\theta(\psi - t)$ を用いて拡張問題を制御し、誤差項を管理する。
• $\overline{\partial}$-閉性と $C^\infty$-位相における収束を用いて、グローバルな拡張の存在を保証する。
• Stein基底空間 $S$ 上での密度論的議論を、$X$ の正則凸性を活用してRemmert削減を用いて行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非還元的解析的部分多様体上での正則切断またはコhomology類が、$L^2$ 条件のもとで、周囲の多様体へ拡張可能かどうか。
• RQ2 線束 $E$ および重み $\psi$ に対して、どのような曲率条件が、このような部分多様体への制限準同型写像の上への性質を保証するか。
• RQ3 部分多様体 $Y$ が特異的であるか、複数の既約成分を持つ場合に、最適な $L^2$ 評価を得ることが可能かどうか。
• RQ4 $L^2$ 近似技法は、非還元的状況における古典的Ohsawa-Takegoshi法をどのように精緻化するか。
• RQ5 Bochner-Kodaira 恒等式は、滑らかな解析的特異性を有する乗数イデアル層に対応して、どの程度適応可能か。

主な発見

• 曲率条件 $\Theta_{E,h} + (1+\alpha\delta)i\partial\overline{\partial}\psi \geq 0$（$\alpha = 0,1$）の下で、制限準同型写像 $H^q(X, K_X \otimes E \otimes \mathcal{I}(he^{-\psi})) \to H^q(X, K_X \otimes E \otimes \mathcal{I}(h))$ は単射である。
• 滑らかな解析的特異性を有する乗数イデアル層 $\mathcal{I}(e^{-\psi})$ の零点集合として定義される非還元的部分多様体 $Y$ に対して、制限写像の上への性質が成立する。
• 拡張結果は、最適であることが示された曲率条件のもとで有効であり、古典的 $L^2$ 拡張定理を一般化する。
• $L^2$ 近似法により、$\overline{\partial}$-問題における誤差項を制御でき、$C^\infty$ 位相における解の収束を可能にする。
• この手法により、$Y$ が特異的または可約であってもコhomology類の拡張が可能であるが、自然な $L^2$ 評価は未解決の問題のままである。
• 正則凸ケーラー多様体はRemmert削減を介して適用可能であり、Stein基底上での相対的設定にも適用可能である。