[論文レビュー] Extension of holomorphic functions defined on non reduced analytic subvarieties

Jean-Pierre Demailly|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 19被引用数 34

ひとこと要約

本稿は、乗数イデアル層の零点集合として定義される非還元的な解析的部分多様体へ、Ohsawa-Takegoshi $L^2$ 拡張定理を一般化する。$L^2$ 評価と曲率条件を用いて、弱半正のベクトル bundle の正則切断の制限写像の上への性質を証明する。主な貢献は、対数正則特異点をもつ非還元的部分多様体からの拡張における最適な曲率条件と正確な $L^2$ 評価である。

ABSTRACT

The goal of this contribution is to investigate L${}^2$ extension properties for holomorphic sections of vector bundles satisfying weak semi-positivity properties. Using techniques borrowed from recent proofs of the Ohsawa-Takegoshi extension theorem, we obtain several new surjectivity results for the restriction morphism to a non necessarily reduced subvariety, provided the latter is defined as the zero variety of a multiplier ideal sheaf. These extension results come with precise L${}^2$ estimates and (probably) optimal curvature conditions.

研究の動機と目的

• Ohsawa-Takegoshi $L^2$ 拡張定理を、乗数イデアル層によって定義される非還元的な解析的部分多様体へ一般化すること。
• ベクトル bundle の全域正則切断から非還元的部分多様体上の切断への制限準同型写像の上への性質を確立すること。
• 弱半正性および曲率条件の下で、正則切断の拡張に関する正確な $L^2$ 評価を導出すること。
• 特に、対数正則特異点をもつ場合の、拡張における最適な曲率条件を証明すること。
• 正則化技術を用いて特異計量を扱い、曲率損失を制御すること。

提案手法

• Hörmander理論からの $L^2$ 評価およびOhsawa-Takegoshi定理の最近の証明を用いる。
• 擬・プラス・サブハーモニック関数 $\psi$ に付随する乗数イデアル層 ${\cal I}(\psi)$ の理論を適用する。
• 乗数イデアルのフィルトレーション ${{\cal I}}(m_p\psi)$ を用い、重み $e^{-m_p\psi}$ を持つ $\overline{\partial}$-方程式を用いて解を構成する。
• 特異計量を解析的特異点をもつものに置き換える正則化技術を用い、乗数イデアルを保ちながら曲率損失を制御する。
• 部分多様体の余次元に関する帰納法を用い、問題を余次元1の場合に還元し、消失定理を適用する。
• 開口予想およびその帰結に依拠し、正則化の下でも乗数イデアルが変わらないことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 乗数イデアル層によって定義される非還元的部分多様体に対して、Ohsawa-Takegoshi $L^2$ 拡張定理を一般化することは可能か？
• RQ2 対数正則特異点をもつ非還元的部分多様体からの $L^2$ 拡張において、最適な曲率条件は何か？
• RQ3 部分多様体が非還元的かつ特異的である場合、拡張の $L^2$ ノルムをどのように制御できるか？
• RQ4 弱半正性の下で、全域正則切断から非還元的部分多様体上の切断への制限準同型写像が上への写像であることを示せるか？
• RQ5 特異計量の正則化技術は、拡張評価と乗数イデアルを保つ上で果たす役割は何か？

主な発見

• 与えられた曲率および成長条件の下で、$H^0(X, {\cal O}_X(K_X \otimes E) \otimes {\cal I}(m_p\psi))$ から非還元的部分多様体 $Y^{(m_p)}$ 上の切断への制限写像は上への写像である。
• 拡張は、環境多様体の曲率および幾何構造にのみ依存する定数をもつ正確な $L^2$ 評価を満たす。
• 最適な曲率条件が得られ、計量に特異点があっても、その曲率が電流の意味で下から有界であれば、結果は依然として有効である。
• 証明は開口予想および特異計量の正則化に依拠しており、乗数イデアルが変わらず、曲率損失が制御されることを保証する。
• 線形束の場合、正則化された計量に解析的特異点をもつものに置き換え、曲率損失を摂動項に吸収することで、方法を特異ヘルメート計量へ拡張できる。
• $\overline{\partial}$-問題における誤差項は、パrameter $t \to -\infty$ のとき $L^2$ ノルムで消えるため、全域正則切断への収束が保証される。