[論文レビュー] Extension of Mittag-Leffler function

Gauhar Rahman, Kottakkaran Sooppy Nisar+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、逐次超幾何関数 $_1F_1$ を含む一般化されたベータ関数を用いて、マイトガッレ＝レフラー関数のさらなる拡張を提案し、積分表現、ライツハイゼロメトリック関数を用いたモーメント変換、および分数階微分の性質を確立する。主な貢献は、古典的マイトガッレ＝レフラー関数に対する拡張された分数階微分が、新たな拡張関数をもたらすことを示したことである。これは、以前の結果を一般化するものである。

ABSTRACT

In this paper, we present an extension of Mittag-Leffler function by using the extension of beta functions (Özergin et al. in J. Comput. Appl. Math. 235 (2011), 4601-4610) and obtain some integral representation of this newly defined function. Also, we present the Mellin transform of this function in terms of Wright hypergeometric function. Furthermore, we show that the extended fractional derivative of the usual Mittag-Leffler function gives the extension of Mittag-Leffler function.

研究の動機と目的

• 逐次超幾何関数項を含む一般化されたベータ関数を用いて、マイトガッレ＝レフラー関数を拡張すること。
• 新たに定義された拡張された関数の積分表現およびモーメント変換表現を導出すること。
• 拡張された分数階微分と拡張されたマイトガッレ＝レフラー関数との関係を確立すること。
• 追加のパラメータ $\lambda$ と $\rho$ を導入することにより、マイトガッレ＝レフラー関数の以前の拡張を一般化すること。

提案手法

• 逐次超幾何関数 $_1F_1$ を含む拡張されたベータ関数 $B_p^{\lambda,\rho}(x,y)$ を用いて、新たな拡張マイトガッレ＝レフラー関数 $E_{\alpha,\beta}^{\gamma,c;\lambda,\rho}(z;p)$ を定義する。
• 系列定義に拡張されたベータ関数を代入し、和と積分の順序を入れ替えることで、積分表現を導出する。
• 拡張された関数のモーメント変換を計算し、ライツハイゼロメトリック関数を用いて表現する。
• $_1F_1$ を含む拡張されたリーマン＝リウヴィル分数階微分作用素を導入し、古典的分数階微分を一般化する。
• n回微分の微分公式を確立し、拡張されたマイトガッレ＝レフラー関数のn回微分が、パラメータがずれた別の拡張マイトガッレ＝レフラー関数を与えることを示す。
• 関数 $z^{\delta-1}E_{\alpha,\beta}^c(z)$ の拡張された分数階微分が、パラメータ $\delta$, $\mu$, $\lambda$, $\rho$ を持つ新たな拡張マイトガッレ＝レフラー関数を生成することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 逐次超幾何関数項を含む拡張されたベータ関数を用いて、マイトガッレ＝レフラー関数をどのようにさらに一般化できるか？
• RQ2 新たに定義された拡張マイトガッレ＝レフラー関数に対して、どのような積分表現および変換表現を導出できるか？
• RQ3 拡張された分数階微分作用素は、新たなマイトガッレ＝レフラー関数とどのように関係しているか？
• RQ4 繰り返し微分の下で、拡張マイトガッレ＝レフラー関数が満たす微分的性質は何か？
• RQ5 どのような条件下で、新しい拡張が、古典的または以前に拡張されたマイトガッレ＝レフラー関数に還元されるか？

主な発見

• 拡張されたマイトガッレ＝レフラー関数 $E_{\alpha,\beta}^{\gamma,c;\lambda,\rho}(z;p)$ は、定理2.1で示されるように、$t^{\gamma-1}(1-t)^{c-\gamma-1}$、$_1F_1$、および $E_{\alpha,\beta}^c(tz)$ を含む積分表現を有する。
• 拡張されたマイトガッレ＝レフラー関数のモーメント変換は、ライツハイゼロメトリック関数を用いて表現される。
• 関数 $z^{\delta-1}E_{\alpha,\beta}^c(z)$ の拡張された分数階微分は、$\frac{z^{\mu-1}B(\delta,c-\delta)}{\Gamma(\mu-\delta)}E_{\alpha,\beta}^{\delta,\mu;\lambda,\rho}(z;p)$ を生成し、分数階微分と新しい関数との間の重要な関係を証明する。
• 拡張されたマイトガッレ＝レフラー関数のn回微分は、$\frac{(c)_n(\lambda)_n}{(\rho)_n}E_{\alpha,\beta+n\alpha}^{\gamma+n,c+n;\lambda+n,\rho+n}(z;p)$ で与えられ、微分の下でパラメータがずれることが示される。
• $\lambda = \rho$ のとき、新しい拡張はオズルサンとイルマズ（2013年）が定義した拡張マイトガッレ＝レフラー関数に還元され、$p=0$ のときには一般化されたマイトガッレ＝レフラー関数 $E_{\alpha,\beta}^{\gamma}(z)$ に還元される。
• 拡張された分数階微分作用素は、$\lambda = \rho$ かつ $p=0$ のとき、古典的リーマン＝リウヴィル微分に還元され、既存の理論と整合することが確認される。