[論文レビュー] Extension of representations in quasi *-algebras

Jean-Pierre Antoine, Фабио Багарелло+1 more|ArXiv.org|Apr 6, 2009

Advanced Algebra and Logic参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、位相的擬*-代数 𝔄における稠密な*-部分代数 𝔄₀ の *-表現に対する閉包に基づく拡張法を開発し、元の定義域を超えて非有界作用素を拡張することを可能にする。主な貢献は、s*-位相における極限を用いた表現の拡張が可能であることを示したことであり、CCR代数および L^p-L^s双対性における明示的実現を通じて、双対空間内でのより大きな擬*-代数の作用素が得られることである。

ABSTRACT

Let $(A, A_o)$ be a topological quasi *-algebra, which means in particular that $A_o$ is a topological *-algebra, dense in $A$. Let $π^o$ be a *-representation of $A_o$ in some pre-Hilbert space ${\cal D} \subset {\cal H}$. Then we present several ways of extending $π^o$, by closure, to some larger quasi *-algebra contained in $A$, either by Hilbert space operators, or by sesquilinear forms on ${\cal D}$. Explicit examples are discussed, both abelian and nonabelian, including the CCR algebra.

研究の動機と目的

• 位相的擬*-代数 𝔄における稠密な*-部分代数 𝔄₀ の *-表現を元の定義域を超えて拡張する課題に対処すること。
• 非有界作用素の標準的閉包とは異なる、新たな作用素を生成する閉包に基づく拡張手順を構築すること。
• 表現が s*-位相における収束を用いて、𝔄 内のより大きな擬*-代数へ拡張可能となる条件を確立すること。
• 物理的に関連する例（CCR代数および L^p-L^s 双対性）における拡張プロセスの明示的実現を提供すること。
• 特に s*-位相を含む位相の役割が、非有界定義域に定義された表現の拡張を可能にする仕組みを明確にすること。

提案手法

• 𝒟 ⊂ 𝒫 における稠密部分空間上に、値が 𝒟 から 𝒫 への作用素およびその随伴作用素が 𝒟 に写る部分 O*-代数 𝒫(𝒟,𝒫) に取る 𝔄₀ の表現 π⁰ を定義する。
• φ ∈ 𝒟 に対して ‖Aφ‖ および ‖A†φ‖ を用いたセミノルムにより、𝒫(𝒟,𝒫) 上に s*-位相を導入する。これは一様位相よりも弱い。
• τ における収束を満たす net {Xα} ⊂ 𝔄₀ が存在するような X ∈ 𝔄 の集合 𝔸̃(π, τ_op) を定義する。このとき π⁰(Xα) は τ_op-コーシー列である。
• X ∈ 𝔸̃(π, τ_op) に対して π⁰ を π(X) = τ_op-lim π⁰(Xα) により拡張する。値は 𝒫(𝒟,𝒫) の τ_op-完備化にとる。
• s = 2p/(p−2) を満たす L^p(X) と L^s(X) 間の双対性を用いて、π⁰ が L^p(X) 上の GNS 表現であるとき、𝔸̃(π, τ_s*) = L^s(X) であることを示す。
• fₙ → 0 in L¹ かつ π⁰(fₙ) → Y in s*-topology ならば Y = 0 であることを示すことにより、π⁰ が τ_s*-拡張可能であることを証明する。これにより極限の一意性が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相的擬*-代数 𝔄における稠密な*-部分代数 𝔄₀ の *-表現 π⁰ は、元の定義域を超えてより大きな非有界作用素の代数へ拡張可能か？
• RQ2 このような拡張を可能にする表現空間上の位相的構造は何か？また、非有界作用素の標準的閉包とはどのように異なるか？
• RQ3 CCR代数や L^p-L^s 双対性の場合、拡張された表現の正確な定義域は何か？
• RQ4 s*-位相は、一様有界でない表現の拡張をどのように可能にするか？
• RQ5 表現の完備化において、拡張された表現が一意的かつ適切に定義されるための条件は何か？

主な発見

• C(X) ⊂ L¹(X) 上の表現 π⁰ は、一様位相では τ_op-拡張可能でない。これは C*-ノルムにおいて既に閉じているためである。
• しかし s*-位相では π⁰ は τ_s*-拡張可能であり、拡張された定義域は正確に L^s(X) であり、s = 2p/(p−2) である。
• 𝒫(𝒟,𝒫) の s*-位相完備化は、全部分 O*-代数 𝒫†(𝒟,𝒫) に一致する。これは s*-閉包がすべての可能な拡張を捉えていることを示している。
• L^p(X) 上の GNS 表現に対して、τ_s*-拡張可能な要素の集合は、L^s(X) に正確に一致する。ここで s = 2p/(p−2) であり、L^p(X) との双対性により得られる。
• 拡張プロセスにより、𝔄 内のより大きな擬*-代数 𝔸̃(π, τ_s*) ⊂ 𝔄 が得られ、これは 𝔄₀ を含み、乗法および対合に関して閉じている。
• この構成により、拡張された観測量代数として L^s(X) を用いた CCR代数の明示的実現が得られる。