[論文レビュー] Extension of the G{ü}nter derivatives to Lipschitz domains and application to the boundary potentials of elastic waves

A. Bendali, Sébastien Tordeux|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、古典的正則性仮定が成り立たない Lipschitz 域において、Günter 衍導を拡張し、$H^s(\partial\Omega)$ から $H^{s-1}(\partial\Omega)$ への有界作用素として定義されることを証明する。$0 \leq s \leq 1$ の範囲で、弾性波境界ポテンシャルの正則化を可能にする。この手法により、楕円型系理論の高度な道具を用いずに、弾性層ポテンシャルの写像性質をヘルムホルツ作用素に還元することで、解析を簡略化する。3次元および2次元の設定において、単層ポテンシャルおよび二重層ポテンシャル、ならびにそれらの引っ張り力の明示的公式を提供する。

ABSTRACT

The scalar G{ü}nter derivatives of a function defined on the boundary of a three-dimensional domain are expressed as components (or their opposites) of the tangential vector rotational of this function in the canonical orthonormal basis of the ambient space. This in particular implies that these derivatives define bounded operators from H s into H s--1 for 0 $\le$ s $\le$ 1 on the boundary of a Lipschitz domain, and can easily be implemented in boundary element codes. Regularization techniques for the trace and the traction of elastic waves potentials, previously built for a domain of class C 2 , can thus be extended to the Lipschitz case. In particular, this yields an elementary way to establish the mapping properties of elastic wave potentials from those of the Helmholtz equation without resorting to the more advanced theory for elliptic systems. Some attention is finally paid to the two-dimensional case.

研究の動機と目的

• 古典的正則性仮定が失敗する Lipschitz 境界への Günter 衍導理論の拡張を図ること。
• Lipschitz 域上で $0 \leq s \leq 1$ の範囲で、$H^s$ から $H^{s-1}$ への Günter 衍導の有界性を確立し、失われた正則性を回復すること。
• $\mathcal{C}^2$ 領域における弾性波ポテンシャルの正則化技術を、Lipschitz 域へ一般化すること。
• 楕円型系理論の高度な道具を用いずに、ヘルムホルツ方程式フレームワークに還元することで、弾性層ポテンシャルの写像性質を直接的かつ初等的に導出すること。
• 3次元および2次元の両設定において、Lipschitz境界上での単層ポテンシャルおよび二重層ポテンシャル、ならびにそれらの引っ張り力の明示的表現を提示すること。

提案手法

• 境界 $\partial\Omega$ 上の法線ベクトル $\boldsymbol{n}$ を用いて、$\mathcal{M}_{ij}^{(\boldsymbol{n})}u = n_j\partial_{x_i}u - n_i\partial_{x_j}u$ として、Günter 衍導を定義する。
• $\mathcal{M}_{ij}^{(\boldsymbol{n})}u = \boldsymbol{\nabla}u \cdot \boldsymbol{\tau}_{ij}$ であることを用い、ここで $\boldsymbol{\tau}_{ij} = n_j\boldsymbol{e}_i - n_i\boldsymbol{e}_j$ であるため、これらを接平面内での方向微分として解釈する。
• Lipschitz 域上で、$H^s(\partial\Omega)$ から $H^{s-1}(\partial\Omega)$ への $\mathcal{M}_{ij}^{(\boldsymbol{n})}$ の有界性を、トレースおよび法線トレースの性質を用いて証明する。
• 拡張された Günter 衍導を用いて、弾性波ポテンシャルのトレースおよび引っ張り力を正則化し、それらの解析を既知のヘルムホルツ層ポテンシャルの性質に還元する。
• スカラーポテンシャル $V_{\kappa_p}, V_{\kappa_s}, N_{\kappa_s}$ および $\mathcal{M}_{\bot}^{(\boldsymbol{n})}$ を用いて、単層ポテンシャル $S\boldsymbol{p}$、二重層ポテンシャル $K\boldsymbol{\psi}$、およびそれらの引っ張り力 $T^{(\boldsymbol{n})}S\boldsymbol{p}$、$T^{(\boldsymbol{n})}K\boldsymbol{\psi}$ の成分ごとの明示的公式を導出する。
• 引っ張り力の二重層ポテンシャルに対する代替表現を、混合微分および法線微分を用いて提示し、既知の積分恒等式と整合していることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的正則性が失われる Lipschitz 域において、Günter 衍導を意味的に拡張できるか。
• RQ2 Lipschitz 境界上でも、$0 \leq s \leq 1$ の範囲で、$H^s(\partial\Omega)$ から $H^{s-1}(\partial\Omega)$ への Günter 衍導が有界作用素として保たれるか。
• RQ3 $\mathcal{C}^2$ 領域における弾性波ポテンシャルの正則化技術が、Günter 衍導を用いて Lipschitz 域へ拡張可能か。
• RQ4 高度な楕円型系理論を用いずに、ヘルムホルツ方程式の性質から弾性層ポテンシャルの写像性質を導出可能か。
• RQ5 Lipschitz 境界上での3次元および2次元における、弾性層ポテンシャルおよびその引っ張り力の明示的成分表現は何か。

主な発見

• Lipschitz 域上で、$0 \leq s \leq 1$ の範囲で、Günter 衍導 $\mathcal{M}_{ij}^{(\boldsymbol{n})}$ は $H^s(\partial\Omega)$ から $H^{s-1}(\partial\Omega)$ への有界作用素であり、失われた半次の正則性を回復する。
• 接平面内微分構造 $\mathcal{M}_{ij}^{(\boldsymbol{n})}u = \boldsymbol{\nabla}u \cdot \boldsymbol{\tau}_{ij}$ により、Günter 衍導は Lipschitz 境界ですら $L^2(\partial\Omega)$ 内で適切に定義され、有界であることが保証される。
• Lipschitz 域上での弾性波ポテンシャルの正則化は、Günter 衍導を用いて達成され、$\mathcal{C}^2$ 基盤の技術がより正則性の低い領域へ拡張可能になる。
• 単層ポテンシャルの引っ張り力 $T^{(\boldsymbol{n})}S\boldsymbol{p}$ は、$V_{\kappa_p}, V_{\kappa_s}, S_\bot$, および $\mathcal{M}_{\bot}^{(\boldsymbol{n})}$ を含む法線微分および接微分の和として表され、明示的な成分分解が与えられる。
• 二重層ポテンシャルの引っ張り力 $T^{(\boldsymbol{n})}K\boldsymbol{\psi}$ には二通りの同等な表現が存在する：一つは $\mathcal{M}_{\bot}^{(\boldsymbol{n})}$ と法線微分を含み、もう一つは2階接微分および $V_{\kappa_s}$ の法線微分を含む。
• 2次元の場合の明示的公式が提示され、理論が3次元に限らず、Lipschitz 境界を持つ平面的弾性波問題へも一般化可能であることが示される。