[論文レビュー] Extension properties of planar uniform domains

Vyron Vellis|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2016

Analytic and geometric function theory参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、平面の均一領域に対して古典的なシューネフリースの定理を拡張し、R² への境界の双リプシッツおよびクェイシシンメトリック埋め込みが、R² にホメオモルフィズムとして拡張可能である場合、それらもそれぞれ双リプシッツまたはクェイシシンメトリックなホメオモルフィズムとして拡張可能であることを証明している。さらに、Cantor 集合のクェイシシンメトリックな均一化を用いて、Rⁿ における均一に非連結な集合の補集合に対しても、これらの結果を一般化している。

ABSTRACT

We generalize the classical bi-Lipschitz and quasisymmetric Schonflies theorems in the plane for all planar uniform domains. Specifically, we show that if $U$ is a uniform domain in the plane, then it has the following two extension properties: (1) every bi-Lipschitz embedding of its boundary into $\mathbb{R}^2$ that can be extended as a homeomorphism of $\mathbb{R}^2$, can also be extended as a bi-Lipschitz homeomorphism of $\mathbb{R}^2$ and (2) if $\partial U$ is relatively connected, then every quasisymmetric embedding of its boundary into $\mathbb{R}^2$ that can be extended homeomorphically to $\mathbb{R}^2$, can also be extended quasisymmetrically to $\mathbb{R}^2$. In higher dimensions, we prove a quasisymmetric uniformization result for Cantor sets which allows to generalize these extension theorems to the complements of uniformly disconnected sets in $\mathbb{R}^n$.

研究の動機と目的

• 平面の均一領域の設定において、古典的な双リプシッツおよびクェイシシンメトリックなシューネフリースの定理を一般化すること。
• 境界の埋め込みがホメオモルフィズムとして拡張可能であるだけでなく、適切な条件下で双リプシッツ的またはクェイシシンメトリックに拡張可能であることを確立すること。
• Cantor 集合のクェイシシンメトリックな均一化を用いて、均一に非連結な集合の補集合に対する高次元空間への拡張性を確立すること。
• R² における均一領域の境界からの埋め込みを、歪みを制御したグローバルホメオモルフィズムに拡張するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 均一領域の条件を用いて相対的距離を制御し、埋め込みの拡張を可能にする。
• Rⁿ 内のCantor 集合に対するクェイシシンメトリックな均一化技術を応用し、平面を越えた設定への結果の一般化を図る。
• 境界の相対的連結性を活用して、埋め込みのクェイシシンメトリックな拡張を保証する。
• 均一領域における幾何的解析を通じて、歪みを制御する条件に拡張問題を還元する。
• 位相的およびメトリック的制御を用いて、境界からの埋め込みからグローバルホメオモルフィズムを構成する。
• メトリックおよび位相的制約を用いて、古典的なシューネフリースの定理を均一領域の設定に適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面の均一領域の境界を R² に埋め込む双リプシッツ写像が、R² にホメオモルフィズムとして拡張可能である場合、それらはグローバルに双リプシッツなホメオモルフィズムに拡張可能か？
• RQ2 均一領域の境界のクェイシシンメトリックな埋め込みが、R² にクェイシシンメトリックに拡張可能となる条件は何か？
• RQ3 均一領域の拡張性は、高次元空間へどのように一般化可能か？
• RQ4 境界の相対的連結性がクェイシシンメトリックな拡張を可能にする役割は何か？
• RQ5 Cantor 集合のクェイシシンメトリックな均一化を用いて、Rⁿ における均一に非連結な集合の補集合への埋め込み定理の拡張は可能か？

主な発見

• 平面の均一領域の境界を R² に埋め込む任意の双リプシッツ写像が、R² にホメオモルフィズムとして拡張可能である場合、それらは R² のグローバルな双リプシッツホメオモルフィズムとしても拡張可能である。
• 平面の均一領域の境界が相対的に連結である場合、R² にホメオモルフィズムとして拡張可能な境界の任意のクェイシシンメトリックな埋め込みは、R² にクェイシシンメトリックに拡張可能である。
• 平面の均一領域に対する拡張結果は、Cantor 集合のクェイシシンメトリックな均一化を用いて、Rⁿ における均一に非連結な集合の補集合へ一般化されている。
• Cantor 集合のクェイシシンメトリックな均一化は、平面を越えた埋め込み定理の拡張に重要なツールを提供する。
• これらの結果は、埋め込みの拡張に強いメトリック的制御を確立し、双リプシッツ的またはクェイシシンメトリックな歪みを保っている。