[論文レビュー] Extensions and contractions of the Lie algebra of q-pseudodifferential symbols

Boris Khesin, Volodymyr Lyubashenko+1 more|ArXiv.org|Mar 31, 1994

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、q-擬微分記号のリー代数およびその類縁の代数に対してコサイクルを構成し、ゴッドビルン＝ヴェーのコサイクルの量子版を導入するとともに、ヴァイラソロ代数をq-擬微分作用素へ埋め込む。1変数の量子微分作用素への古典的構造の一般化として、無限個の保存量を有するKPおよびKdV階層のqアナログを提案する。

ABSTRACT

We construct cocycles on the Lie algebra of pseudo- and q-pseudodifferential symbols of one variable and on their close relatives: the sine-algebra and the Poisson algebra on two-torus. A ``quantum'' Godbillon-Vey cocycle on (pseudo)-differential operators appears in this construction as a natural generalization of the Gelfand-Fuchs 3-cocycle on periodic vector fields. We describe a nontrivial embedding of the Virasoro algebra into (a completion of) q-pseudodifferential symbols, and propose q-analogs of the KP and KdV-hierarchies admitting an infinite number of conserved charges.

研究の動機と目的

• q-擬微分記号およびその類縁代数（例えば正弦代数や2次元トーラス上のポアソン代数）のリー代数コサイクル理論を拡張すること。
• 周期的ベクトル場上のゲルファンド＝フッハ3-コサイクルを、新しい「量子」ゴッドビルン＝ヴェー・コサイクルとして一般化することにより、量子的状況での同様の一般化を達成すること。
• q-擬微分記号代数の完備化へのヴァイラソロ代数の非自明な埋め込みを構成すること。
• 無限個の保存量を有するqアナログのKPおよびKdV可積分階層を提案すること。
• 数学的物理および量子代数の文脈において、q変形微分作用素の代数的およびコホモロジー的構造を調査すること。

提案手法

• コホモロジー的技法および変形理論を用いて、q-擬微分記号上のリー代数コサイクルを構成する。
• 周期的ベクトル場上のゲルファンド＝フッハ3-コサイクルの自然な一般化として、量子ゴッドビルン＝ヴェー・コサイクルを定義する。
• 2次元トーラス上の正弦代数およびポアソン代数の代数的構造を用いて、コサイクル構成を拡張する。
• 中心拡大を介して、q-擬微分記号代数の完備化へのヴァイラソロ代数の明示的埋め込みを行う。
• q微分作用素を用いた古典的KPおよびKdV方程式の変形により、qアナログ階層を導出する。
• 量子代数的手法を適用して、q変形状態でも可積分性および保存量を保つこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゲルファンド＝フッハ3-コサイクルは、どのようにq-擬微分作用素上で量子的状況に一般化できるか？
• RQ2 q-擬微分記号およびその類縁のリー代数コホモロジーの構造は何か？
• RQ3 ヴァイラソロ代数は、q-擬微分記号代数に非自明に埋め込めるか？
• RQ4 可積分性および無限個の保存量を保つqアナログのKPおよびKdV階層は何か？
• RQ5 q変形微分作用素の代数的およびコホモロジー的性質は、それらの古典的対応物とどのように関係するか？

主な発見

• q-擬微分記号代数の完備化へのヴァイラソロ代数の非自明な埋め込みが構成され、中心拡大構造が確立された。
• (擬)微分作用素上に、古典的ゲルファンド＝フッハ3-コサイクルの一般化である量子ゴッドビルン＝ヴェー・コサイクルが定義された。
• 無限個の保存量を有するKPおよびKdV階層のqアナログが得られ、可積分性が保たれた。
• q-擬微分記号のリー代数および関連代数（正弦代数、2次元トーラス上のポアソン代数など）に、明示的なコサイクルが構成された。
• コホモロジー的枠組みにより、q変形微分作用素、リー代数の拡大、可積分系との深い関係が明らかになった。
• 結果として、q変形が中心拡大や保存量といった主要な代数的構造を保つことが示され、古典的可積分系が量子的状況へ拡張された。