[論文レビュー] Extensions of Bougerol's identity in law and the associated anticipative path transformations

Yuu Hariya|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ブラウン運動の予見的でない経路変換を含むプロセスレベルの同一性に、ボーガロの法則的恒等式を拡張する。指数関数的機能 At に依存する、新しい変換族 Tz を導入する。主な貢献は、超円型関数と At を含むラドン＝ニコディム密度を用いた、変換されたブラウン運動経路の法則を結ぶギルサノフ型公式であり、これは古典的恒等式を一般化し、マリヤン・微積分とも関連している。

ABSTRACT

Let $B=\{ B_{t}\} _{t\ge 0}$ be a one-dimensional standard Brownian motion and denote by $A_{t},\,t\ge 0$, the quadratic variation of the geometric Brownian motion $e^{B_{t}},\,t\ge 0$. Bougerol's celebrated identity (1983) asserts that, if $\beta =\{ \beta (t)\} _{t\ge 0}$ is another Brownian motion independent of $B$, then $\beta (A_{t})$ is identical in law with $\sinh B_{t}$ for every fixed $t>0$. In this paper, we extend Bougerol's identity to an identity in law for processes up to time $t$, which exhibits a certain invariance of the law of Brownian motion. The extension is described in terms of anticipative transforms of $B$ involving $A_{t}$ as an anticipating factor. A Girsanov-type formula for those transforms is shown. An extension of a variant of Bougerol's identity is also presented.

研究の動機と目的

• 固定時刻における周辺分布から全経路的プロセスへのボーガロの法則的恒等式の拡張を目的とする。
• 幾何ブラウン運動の二次変動 At に依存する予見的でない経路変換 Tz の開発を目的とする。
• 変換 Tz における変換されたブラウン運動経路の法則を結ぶギルサノフ型公式の確立を目的とする。
• これらの変換とマリヤン微積分との関係、特にスコロホド積分を通じての関係を探索することを目的とする。
• ドゥフレーヌの恒等式やボーガロの恒等式の変種を含む、指数関数的機能 At に関係する既知の恒等式の一般化を目的とする。

提案手法

• 指数関数的機能 At(φ) = ∫₀ᵗ e²φs ds を用いて、s ∈ [0,t] に対して Tz(φ)(s) = φs − log[1 + As(φ)/At(φ) (ez − 1)] と経路変換を定義する。
• プロセス Tz(B)t−Argsh(eBt sinh x + β(At))(B) が {Bs}₀≤s≤t と分布的に等しいことを証明し、ボーガロの恒等式をプロセスへ拡張する。
• ギルサノフ型公式を導出する：E[F(Tz(B)) ] = E[ exp{(cosh Bt − cosh(z + Bt))/Zt} F(B) ] であり、Zt = e−Bt At である。
• Cameron–Martin の関係と Zt の拡散的性質を用いて、停止時刻 τ へ結果を拡張する。
• 変換の微分がスコロホド積分 δ(∫₀ᵗ e²Bs ds / At) = sinh Bt / Zt を通じて関連することを示し、マリヤン微積分への接続を確立する。
• フレームワークを応用して、ラマッハール確率変数 ε とブラウン運動のドリフト付き到達時刻を含む、ボーガロの恒等式の新たな変種を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボーガロの法則的恒等式は、固定時刻周辺分布から全経路的プロセスへ拡張可能か？
• RQ2 指数関数的機能 At に依存する予見的でない経路変換 Tz の構造は何か？
• RQ3 このような変換に対してギルサノフ型公式をどのように導出できるか。また、ラドン＝ニコディム密度の明示的形は何か？
• RQ4 これらの変換とマリヤン微積分との関係は何か。特にスコロホド積分の観点からどうか？
• RQ5 このフレームワークを用いて、到達時刻と指数関数的機能を含む、β(A(1)t) = sinh B(ε)t のような新たな恒等式を導出可能か？

主な発見

• 任意の固定された x ∈ ℝ に対して、プロセス Tx+Bt−Argsh(eBt sinh x + β(At))(B) は {Bs}₀≤s≤t と分布的に等しい。これはボーガロの恒等式をプロセスへ拡張する。
• ギルサノフ型公式が確立された：E[F(Tz(B))] = E[exp{(cosh Bt − cosh(z + Bt))/Zt} F(B)] であり、Zt = e−Bt At である。
• 恒等式 E[F(B)] = E[exp{(cosh Bt − cosh(z + Bt))/Zt} F(T−z(B))] が成り立ち、変換間の双対性を示す。
• µ > 0 に対して、B(−µ) の法則は、z = log(2γµ A(−µ)∞) とおくと、変換 T∗z に関して不変である。ここで γµ ∼ Gamma(µ) である。
• 恒等式 (β(A(1)t), e−2B(1)t At, Z(1)t) (d) = (sinh B(ε)t, τ₁( ̂B(cosh B(ε)t / Z(ε)t)), Z(ε)t) が証明され、ボーガロの恒等式の変種を一般化する。
• スコロホド積分 δ(∫₀ᵗ e²Bs ds / At) は sinh Bt / Zt に等しく、マリヤン微積分への接続を検証し、微分計算によるギルサノフ公式の確認がなされた。