[論文レビュー] Extensions of diffeomorphism and current algebras

T. A. Larsson|ArXiv.org|Feb 7, 2000

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、微分同相変換代数 $\mathfrak{diff}(N)$ 及びその部分代数（散発性なし、ハミルトニアン、接触ベクトル場）のテンソルモジュール拡張の Dzhumadil’daev の分類をレビューし、拡張し、物理的解釈が可能な明示的なテンソル記法を用いて17個の一般型コサイクルの解釈を明確化する。主な貢献は、すべてのコサイクルが、非自明なヴィラソロおよびミケルソン＝ファドデエフ拡張を除き、共形次元 $\lambda$ でパrameter化された自明なコサイクルの極限として得られることを示したことである。これら2つは、閉じた鎖条件を満たすため、幾何学的に異なる。

ABSTRACT

Dzhumadil'daev has classified all tensor module extensions of $diff(N)$, the diffeomorphism algebra in $N$ dimensions, and its subalgebras of divergence free, Hamiltonian, and contact vector fields. I review his results using explicit tensor notation. All of his generic cocycles are limits of trivial cocycles, and many arise from the Mickelsson-Faddeev algebra for $gl(N)$. Then his results are extended to some non-tensor modules, including the higher-dimensional Virasoro algebras found by Eswara Rao/Moody and myself. Extensions of current algebras with $d$-dimensional representations are obtained by restriction from $diff(N+d)$. This gives a connection between higher-dimensional Virasoro and Kac-Moody cocycles, and between Mickelsson-Faddeev cocycles for diffeomorphism and current algebras.

研究の動機と目的

• 物理学者にやさしい形で、Dzhumadil’daev の $\mathfrak{diff}(N)$ 及びその部分代数のテンソルモジュール拡張の分類を、明示的なテンソル記法を用いて再表現すること。
• テンソルモジュールを超えて、高次元ヴィラソロ代数およびカレント代数拡張を含む分類を拡張すること。
• コサイクルのコhomological性質を明確化し、特に自明なコサイクルの極限として得られるものと、非自明なヴィラソロおよびミケルソン＝ファドデエフ拡張との区別をすること。
• $\mathfrak{diff}(N+d)$ からの制限によって、高次元ヴィラソロ代数、カック＝ムーディコサイクル、ミケルソン＝ファドデエフ代数の間の関係を確立すること。

提案手法

• 物理学者にとってよりアクセスしやすい形で、Dzhumadil’daev の抽象的なコホモロジー分類を明示的なテンソル記法に再表現すること。
• 共形次元 $\lambda$ でパrameter化された一意パラメータ族の自明なコサイクルを構成し、極限 $\lambda \to \lambda_0$ が非自明な拡張をもたらすことを示すこと。
• $\mathfrak{diff}(N+d)$ からの拡張を $\mathrm{map}(N,\mathfrak{g})$ や $\mathrm{map}(N,\mathfrak{diff}(d))$ などの部分代数に制限することで、カレント代数や高次元ヴィラソロ代数への拡張を構成すること。
• ヴィラソロおよびミケルソン＝ファドデエフのコサイクルが、自明なコサイクルの極限として得られないため、コホモロジーにおいて非自明であることを特定すること。
• 閉じた鎖（1-形式および3-形式）の幾何的解析により、なぜヴィラソロおよびMF拡張が自明なコサイクルの閉包に属さないのかを説明すること。
• 元の空間代数における既知の非自明な拡張にさかのぼることで、部分代数の拡張の非自明性と網羅性を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Dzhumadil’daev の $\mathfrak{diff}(N)$ のテンソルモジュール拡張分類を、物理学者にやさしいテンソルベースの形式に再表現することは可能か？
• RQ2 Dzhumadil’daev の分類における17個の一般型コサイクルのうち、どれが自明なコサイクルの極限であるか？ これはそれらのコホモロジー的性質にどのような意味を持つのか？
• RQ3 高次元ヴィラソロ代数およびカレント代数拡張は、$\mathfrak{diff}(N+d)$ からの制限によって構成可能か？ それらは既知のコサイクルとどのように関係するか？
• RQ4 なぜヴィラソロおよびミケルソン＝ファドデエフ拡張が、他のコサイクルとは異なり、自明なコサイクルの極限ではないのか、その幾何的根拠は何か？
• RQ5 Dzhumadil’daev や Ovsienko、Roger が1次元で分類したコサイクルの高次元版は存在するか？ それらは物理的に意味を持つものか？

主な発見

• Dzhumadil’daev の一般コサイクル（立方、四次、五次型を含む）は、すべて共形次元 $\lambda$ でパrameter化された連続的族の自明なコサイクルの極限として理解可能であり、臨界値 $\lambda_0$ での極限として得られる。
• ヴィラソロおよびミケルソン＝ファドデエフ（MF）拡張は、閉じた鎖（1-形式および3-形式）を含むため、幾何学的に異なる。したがって、自明なコサイクルの極限として得られない。
• Eswara Rao と Moody が提唱した高次元ヴィラソロ代数、および $d$ 次元表現を伴うカレント代数拡張は、すべて $\mathfrak{diff}(N+d)$ からの制限によって構成可能であり、微分同相変換代数とカック＝ムーディコサイクルの間の直接的な関係を確立する。
• DRO(N)代数における4つの同型でないヴィラソロ型コサイクル（$\psi^W_1$ から $\psi^W_4$ に相当）は非自明であり、それぞれ異なるフォックモジュール構造に対応していることが示された。
• $\psi^W_3$ および $\psi^W_4$ コサイクルは、$c(\xi,f)$ および $c(f,g)$ の混合項でのみ非ゼロであり、標準ヴィラソロコサイクルの一般化であり、コホモロジーにおいて非自明である。
• $\mathfrak{diff}(N+d)$ からの制限による構成は、全空間代数のテンソルモジュール拡張に持ち上げられる部分代数のすべての拡張を自明に網羅するため、このクラス内での完全性が保証される。