[論文レビュー] Extensions of McCoy Rings

Zhiling Ying, Jianlong Chen+1 more|ArXiv.org|Aug 14, 2007

Rings, Modules, and Algebras参考文献 8被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、さまざまな環拡大における McCoy 性質の安定性を調査し、$M_n(R)$ および上三角行列環 $T_n(R)$ が $n \geq 2$ のとき、$R$ が McCoy であっても、常に McCoy でないことを証明している。また、多項式環、ローレンツ多項式環、分数環において、特定の条件下で McCoy 性質が持ち上がることが示され、 McCoy 条件を保つ拡大の包括的分類がなされている。

ABSTRACT

A ring $R$ is said to be right McCoy if the equation $f(x)g(x)=0,$ where $f(x)$ and $g(x)$ are nonzero polynomials of $R[x],$ implies that there exists nonzero $s \in R$ such that $f(x)s = 0$. It is proven that no proper (triangular) matrix ring is one-sided McCoy. If there exists the classical right quotient ring $Q$ of a ring $R$, then $R$ is right McCoy if and only if $Q$ is right McCoy. It is shown that for many polynomial extensions, a ring $R$ is right McCoy if and only if the polynomial extension over $R$ is right McCoy. Other basic extensions of right McCoy rings are also studied.\leftskip0truemm ightskip0truemm \{\it Keywords}: matrix ring, McCoy ring, polynomial ring, upper triangular matrix ring.

研究の動機と目的

• Morita 同値の下で McCoy 性質が保存されるかどうか、特に行列環の構成においてを特定すること。
• 多項式拡大、特に $R[x]$、$R[x;x^{-1}]$、$R[x]/(x^n)$、および多変数多項式環における McCoy 性質の挙動を調査すること。
• 環とその古典的右商環の間の McCoy 性質の関係を検討すること。
• McCoy 環の拡大が McCoy のままであるための十分条件を提示し、性質が失敗する反例を同定すること。

提案手法

• 行列多項式を用いた明示的な反例を用いて、$n \geq 2$ のとき $M_n(R)$ および $T_n(R)$ が右または左 McCoy でないことを証明する。
• $f(x), g(x) \in M_n(R)[x]$ である行列の族を構成し、$f(x)g(x) = 0$ であるが、$f(x)s = 0$ を満たす非ゼロ $s \in M_n(R)$ が存在しないことを示す。
• 中心的正則元と乗法的部分集合の概念を用いて、特に $\Delta^{-1}R$（$ abla = \{1, x, x^2, \dots\}$）において、McCoy 性質を局所化に拡張する。
• 帰納法と還元技術を用いて、$R$ が右 McCoy ならば $R[x_1, \dots, x_k]$ も右 McCoy であることを示す。
• 自己準同型に関するスケュー多項式環 $R[x;\alpha]/(x^n)$ および $R[x;\alpha]$ において、McCoy 性質がいつ保持されるかを特定する。
• 既知の Armendariz 環および可逆環に関する結果を活用し、McCoy 性質と関連する環論的条件を比較・対比する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列環拡大、特に $n \geq 2$ のときの $M_n(R)$ および $T_n(R)$ において、McCoy 性質は保存されるか？
• RQ2 環 $R$ から多項式拡大 $R[x]$、$R[x;x^{-1}]$、$R[x]/(x^n)$ への McCoy 性質の持ち上がりは、どのような条件下で成立するか？
• RQ3 環 $R$ が古典的右商環 $Q$ を持つとき、$R$ が右 McCoy であることは $Q$ が右 McCoy であることと同値であるか？
• RQ4 スケュー多項式環 $R[x;\alpha]/(x^n)$ において McCoy 性質は保存されるか？また、自己準同型 $\alpha$ はどのような役割を果たすか？
• RQ5 $ alpha$ が自己同型であっても、$R$ が McCoy であるが $R[x;\alpha]$ が McCoy でないような例は存在するか？

主な発見

• 任意の環 $R$ および $n \geq 2$ に対して、行列環 $M_n(R)$ は左および右の両方の McCoy でない。これは、$f(x), g(x) \in M_n(R)[x]$ である明示的な多項式を構成し、$f(x)g(x) = 0$ であるが、$f(x)s = 0$ を満たす非ゼロ $s \in M_n(R)$ が存在しないことによって示される。
• 同様に、上三角行列環 $T_n(R)$ は $n \geq 2$ のとき、左および右の両方の McCoy でない。これは上三角構造内での類似した反例を用いて示される。
• 環 $R$ が右 McCoy であれば、多項式環 $R[x]$ も右 McCoy であり、これは変数の個数に関する帰納法により、多変数多項式環 $R[\{x_\alpha\}]$ に拡張される。
• 古典的右商環 $Q$ が存在する場合、$Q$ が右 McCoy であることと $R$ が右 McCoy であることは同値であり、これは局所化における強い保存性を示している。
• 環 $R$ が $\alpha$-rigid である場合、スケュー多項式環 $R[x;\alpha]/(x^n)$ は McCoy であり、$R$ が $\alpha$-rigid であれば $R[x;\alpha]$ も McCoy である。
• 可換かつ還元可能な環 $R$ および自己同型 $ alpha$ に対して、$R[x;\alpha]$ が左および右の両方の McCoy でない例が存在する。これは、McCoy 性質が常にスケュー多項式環に拡張されないことを示している。