[論文レビュー] Extensions of Positive Definite Functions: Applications and Their Harmonic Analysis

Palle E. T. Jørgensen, Steen Pedersen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2015

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 109被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、特にリー群を含む局所コンパクト群の部分集合上で定義された正定値（p.d.）連続関数の拡張と、再生核ヒルベルト空間（RKHS）におけるユニタリ表現および自己共役作用素との関係を調査する。広範な条件下でそのような拡張が存在することを確立し、作用素理論およびスペクトル測度を用いた構成的技法を提示するとともに、RKHSが原子的、絶対連続的、特異連続的成分に一意に分解されることを明らかにする。また、拡張集合の極端な点に関する主要な結果と、関数の虚部が果たす役割についても示す。

ABSTRACT

We study two classes of extension problems, and their interconnections: (i) Extension of positive definite (p.d.) continuous functions defined on subsets in locally compact groups $G$; (ii) In case of Lie groups, representations of the associated Lie algebras $La\left(G ight)$ by unbounded skew-Hermitian operators acting in a reproducing kernel Hilbert space (RKHS) $\mathscr{H}_{F}$. Why extensions? In science, experimentalists frequently gather spectral data in cases when the observed data is limited, for example limited by the precision of instruments; or on account of a variety of other limiting external factors. Given this fact of life, it is both an art and a science to still produce solid conclusions from restricted or limited data. In a general sense, our monograph deals with the mathematics of extending some such given partial data-sets obtained from experiments. More specifically, we are concerned with the problems of extending available partial information, obtained, for example, from sampling. In our case, the limited information is a restriction, and the extension in turn is the full positive definite function (in a dual variable); so an extension if available will be an everywhere defined generating function for the exact probability distribution which reflects the data; if it were fully available. Such extensions of local information (in the form of positive definite functions) will in turn furnish us with spectral information. In this form, the problem becomes an operator extension problem, referring to operators in a suitable reproducing kernel Hilbert spaces (RKHS). In our presentation we have stressed hands-on-examples. Extensions are almost never unique, and so we deal with both the question of existence, and if there are extensions, how they relate back to the initial completion problem.

研究の動機と目的

• 局所コンパクト群上での局所的に定義された正定値関数を、全体的に定義されたものに拡張するという数学的課題に取り組む。
• 再生核ヒルベルト空間（RKHS）を通じて、そのような拡張をユニタリ表現およびスペクトル理論と結びつける。
• すべての可能な拡張の空間の構造を分析し、特に極端な点とその関数の虚部に依存する性質を同定する。
• 無限次元設定への一般化を図り、確率論および確率過程との関連を探索する。
• 明示的な構成法と具体例を提示する。特に、RKHSが原子的、絶対連続的、特異連続的部分空間に分解されることを示す。

提案手法

• 連続p.d.関数を有限正の測度のフーリエ変換として特徴付けるボホナーの定理を用い、拡張問題を調和解析の枠組みで定式化する。
• ユニタリ表現および射影値測度（PVM）の理論を適用し、p.d.関数の各拡張に対して群Gのユニタリ表現を関連付ける。
• p.d.関数Fと関連するRKHSの構造を用いて、対応するヒルベルト空間のスペクトル分解（原子的、絶対連続的、特異連続的）を分析する。
• 自己共役作用素および反エルミート作用素の拡張に焦点を当てた作用素論的技法を用いる。特に、G = ℝの場合の欠損指数(1,1)に注目する。
• クリンおよびド・ブランジュの作用素拡張に関する結果を活用し、ℝへのすべてのp.d.拡張を分類し、作用素拡張理論とp.d.関数拡張を結びつける。
• 関数Fの虚部が、拡張集合Ext(F)の構造を決定する役割を分析する。特に、RKHS内に関連する反エルミート作用素D^(F)との関係を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所コンパクト群の部分集合上で定義された連続正定値関数が、群全体に連続正定値関数に拡張可能となる条件は何か？
• RQ2 すべてのp.d.拡張の凸集合の極端な点は、元の関数の虚部とどのように関係しているか？
• RQ3 正定値関数に関連する再生核ヒルベルト空間のスペクトル分解とは何か？その成分（原子的、絶対連続的、特異連続的）は、群表現からどのように生じるか？
• RQ4 RKHS内に定義された反エルミート作用素D^(F)の性質は、関数Fの虚部にどのように依存するか？
• RQ5 拡張理論の結果は、無限次元設定にどのように応用可能か？特に、確率論および分数ブラウン運動などの確率過程とどのような関係があるか？

主な発見

• 任意のℝⁿの有界な開部分集合上で定義された連続正定値関数に対して、ℝⁿ全体に連続正定値関数への拡張が少なくとも1つ存在する。
• 正定値関数Fに対応する再生核ヒルベルト空間ℋ_Fは、関連するスペクトル測度の原子的、絶対連続的、特異連続的成分に対応する3つの部分空間ℋ_F^(atom)、ℋ_F^(ac)、ℋ_F^(sing)への正規直交分解をもつ。
• すべての3つの成分が非ゼロである具体例が構成された。特に、原子的成分は1次元であり、残りの2つは無限次元である。
• 与えられた関数Fのすべてのp.d.拡張の集合Ext(F)はコンパクトな凸集合であり、その極端な点はFの虚部および関連する反エルミート作用素D^(F)を用いて特徴づけられる。
• G = ℝの場合、すべてのp.d.拡張は、欠損指数(1,1)を持つ対称作用素の自己共役拡張を用いて分類可能であり、古典的作用素論と結びつく。
• 本稿は、緩やかな測度（例：|x|^g dx で 1/2 < g < 1）が正定値関数を生成することを示し、その関数は連続でない場合がある。また、そのような場合に対しても、拡張枠組みを適応可能にでき、有限測度に限らない範囲への一般化が可能であることを確立した。