[論文レビュー] Extensions of the class of multiplicative functions

Pentti Haukkanen|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2013

Advanced Mathematical Identities被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、算術的演算との合成において古典的乗法的関数に見られる制限を克服するため、乗法的関数の3つの拡張——準乗法的、半乗法的、セルバーグ乗法的関数——を導入し、分析する。Ramanujanの和と、正規整数に関するその類似物が、第2変数に関して半乗法的であり、両変数に関して乗法的であることが示され、畳み込みに基づく新たな特徴付けと恒等式が得られる。

ABSTRACT

We consider the classes of quasimultiplicative, semimultiplicative and Selberg multiplicative functions as extensions of the class of multiplicative functions. We apply these concepts to Ramanujan's sum and its analogue with respect to regular integers (mod r).

研究の動機と目的

• f(kn)、f(n/k)、f([k,n]) のような合成に関して古典的乗法的関数の不安定性を是正するため、一般化された関数クラスを導入すること。
• 準乗法的、半乗法的、セルバーグ乗法的関数を定義し、乗法的関数の自然な拡張として特徴付けること。
• Ramanujanの和と、rを法としての正規整数に関するその類似物の乗法的および半乗法的性質を調査すること。
• 数論的関数の文脈において、これらの拡張クラスの畳み込みに基づく恒等式と構造的特徴付けを確立すること。

提案手法

• 互いに素なm,nに対してc·f(mn) = f(m)f(n)を満たす準乗法的関数を導入し、c = f(1)として、スケーリングを伴う乗法的関数の一般化を行う。
• f(n) = c·fₘ(n/a) で定義される半乗法的関数を導入し、fₘは乗法的で、fₘ(x) = 0（非整数xに対して）、f(a) ≠ 0 かつ a∤n ならば f(n) = 0 となる。
• すべてのm,n ∈ ℕに対して f(m)f(n) = f((m,n))f([m,n]) が成り立つという恒等式により、半乗法的関数を特徴付ける。
• f(n) = ∏ₚ Fₚ(νₚ(n)) としての因数分解により、セルバーグ乗法的関数を適用し、Fₚ(0) = 1 がすべてのpに対して成り立ち、ただし有限個を除くすべてのpで成り立つ。
• ユニタリ畳み込みおよびディリクレ畳み込みを用いて、Ramanujanの和とその正規整数に関する類似物の乗法的構造を分析する。
• 標準的因数分解および素数冪分解を用いて、乗法的および半乗法的性質の明示的公式と条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 f(kn) や f([k,n]) のような合成に関して乗法的性質を保つように、乗法的関数のクラスをどのように拡張できるか？
• RQ2 準乗法的、半乗法的、セルバーグ乗法的関数の構造的および特徴付け的性質は何か？
• RQ3 Ramanujanの和 c_r(n) はnに関して半乗法的か？また、どのような条件下で乗法的または準乗法的か？
• RQ4 正規整数に関するRamanujanの和の類似物 c̄_r(n) は、rおよびnに関して乗法的または半乗法的か？
• RQ5 c_r(n) および c̄_r(n) に対して、2変数における乗法的構造を反映する畳み込み恒等式を導出できるか？

主な発見

• Ramanujanの和 c_r(n) はrに関して乗法的であり、nに関して半乗法的であり、c_r(n) ≠ 0 となる最小のnは r/γ(r) である。ここでγ(r)はrの相異なる素因数の積である。
• c_r(n) がnに関して準乗法的であるための必要十分条件は、rが平方自由であることであり、c_r(n) がnに関して乗法的であるための必要十分条件は、rが平方自由かつω(r)が偶数であることである。
• 類似物 c̄_r(n) はrに関して乗法的であり、nに関して半乗法的であり、c̄_r(n) ≠ 0 となる最小のnは ∏_{p‖r} p である。
• c̄_r(n) がnに関して乗法的であるための必要十分条件は、rが平方豊富またはr = 1であることであり、c̄_r(n) がnに関して準乗法的であるための必要十分条件は、nに関して乗法的であることである。
• 互いに素なm,nに対して、恒等式 c_r(m)c_r(n) = μ(r)c_r(mn) が成り立ち、その類似物 c̄_r(m)c̄_r(n) = μ̄(r)c̄_r(mn) も成り立つ。ここでμ̄(r) = 1（rが平方豊富またはr = 1のとき）、それ以外は0である。
• 関数 f(n,r) = c̄_r(n) は両変数に関して乗法的であり、互いに素なm,nに対して f(m,r)f(n,r) = f(1,r)f(mn,r) を満たす。