[論文レビュー] Extensive entropy from unitary evolution

Yichen Huang|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2021

Quantum many-body systems被引用数 5

ひとこと要約

本論文は、非 degenerate エネルギー準位ギャップを有する任意の量子多体系ハミルトニアンが、一般の局所的相互作用のもとでランダムな積状態から時間発展する際に、広範囲にわたる量子もつれエントロピーを生成することを証明している。このような系は、長時間においてほとんど確実に体積則に従うもつれエントロピーを示すことが確立され、多体局在化における長年の観察を解消し、孤立系における広範囲のエントロピーの一般的出現を確認した。

ABSTRACT

In quantum many-body systems, a Hamiltonian is called an ``extensive entropy generator'' if starting from a random product state the entanglement entropy obeys a volume law at long times with overwhelming probability. We prove that (i) any Hamiltonian whose spectrum has non-degenerate gaps is an extensive entropy generator; (ii) in the space of (geometrically) local Hamiltonians, the non-degenerate gap condition is satisfied almost everywhere. Specializing to many-body localized systems, these results imply the observation stated in the title of Bardarson et al. [PRL 109, 017202 (2012)].

研究の動機と目的

• 孤立系における量子多体系の一般的もつれエントロピーの広範囲的出現を数学的に特徴づけること。
• 非 degenerate エネルギーギャップを有するハミルトニアンがランダムな積状態から体積則に従うもつれエントロピーを生成することを確立すること。
• 非 degenerate ギャップ条件が局所的ハミルトニアンの空間において一般に成立することを示すこと。
• 多体局在化系に対する一般の局所的摂動が無限大に発散するもつれ成長を引き起こすという長年の数値的観察を解消すること。

提案手法

• 一般の初期純粋状態をモデル化するために、ハーレンダム積状態を初期条件として用いる。
• 長時間のもつれダイナミクスを分析するために、縮約密度行列の無限時間平均を適用する。
• ハミルトニアンのスペクトル解析を用いて、エネルギー差における非退化ギャップ条件を定義および検証する。
• 測度の集中と確率的行列理論を活用し、体積則に従うもつれエントロピーをとる確率が指数的に1に近いことを示す。
• 非退化ギャップスペクトルを実現する明示的モデル（例：ステガレート磁場を有するXXZ鎖）を構築する。
• フォン・ノイマンエントロピーの部分加法性および凹性を用いて、長時間平均のもつれエントロピーを上限で評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の局所的ハミルトニアンがランダムな積状態から広範囲のもつれエントロピーを生成する条件は何か？
• RQ2 非退化ギャップ条件は、長時間における体積則に従うもつれエントロピーを生成するのに十分か？
• RQ3 非退化ギャップ条件は局所的ハミルトニアンの空間においてどれほど一般に成立するか？
• RQ4 多体局在化系に対する一般の局所的摂動は、無限大に発散するもつれ成長を引き起こすか？
• RQ5 典型的な量子多体系において、体積則に従うもつれエントロピーがほとんど確実に出現することは厳密に証明可能か？

主な発見

• 非退化ギャップを有する任意のハミルトニアンは、確率 1 - e^(-Ω(N)) でランダムな積状態から体積則に従うもつれエントロピーを生成する。
• 非退化ギャップ条件は、幾何的局所的ハミルトニアンの空間においてほとんど至る所で成立する。
• サイズ n の部分系の長時間平均のもつれエントロピー S は、高確率で S ≥ (1 - ε)n ∑_{k=2}^d 1/k を満たす。
• 本結果は、Bardarson 他 (2012) が観察したように、多体局在化系に対する一般の局所的摂動が無限大に発散するもつれ成長を引き起こすことを確認した。
• 1次元スピン鎖およびクイド系において、非退化ギャップを有するハミルトニアンの明示的構成が存在する。
• もつれエントロピーの無限時間平均は、単一サイトのフォン・ノイマンエントロピーの和によって上界で抑えられ、これはハーレンダム状態において統計的に既知である。