[論文レビュー] Exterior and evolutionary skew-symmetric differential forms and their role in mathematical physics

Л. И. Петрова|ArXiv.org|Oct 23, 2003

Differential Equations and Numerical Methods参考文献 15被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、閉じていない計量形式を有する多様体上で定義される進化的歪対称微分形式を導入し、閉じた外微分形式とは補完的であるフレームワークを提示する。不変で同一の関係を、非同一で退化する関係に置き換えることで、離散的転移、量子的ステップ、物理的構造の起源を保存則を通じて説明し、場の形成に因果的メカニズムを提供するとともに、光の速度がマクスウェル方程式における統合方向として現れることを示している。

ABSTRACT

At present the theory of skew-symmetric exterior differential forms has been developed. The closed exterior forms possess the invariant properties that are of great importance. The operators of the exterior form theory lie at the basis of the differential and integral operators of the field theory. However, the theory of exterior forms, being invariant one, does not answer the questions related to the evolutionary processes. In the work the readers are introduced to the skew-symmetric differential forms that possess evolutionary properties. They were called evolutionary ones. The radical distinction between the evolutionary forms and the exterior ones consists in the fact that the exterior forms are defined on manifolds with closed metric forms, whereas the evolutionary forms are defined on manifolds with unclosed metric forms. The mathematical apparatus of exterior and evolutionary forms allows description of discrete transitions, quantum steps, evolutionary processes, generation of various structures. These are radically new possibilities of the mathematical physics. A role of exterior and evolutionary forms in the mathematical physics is conditioned by the fact that they reflect properties of the conservation laws and allow elucidate a mechanism of evolutionary processes in material media, which lead to formatting physical fields.

研究の動機と目的

• 閉じた外微分形式が構造形成や量子遷移といった進化的プロセスを記述する上で抱える限界を克服すること。
• 閉じていない歪対称微分形式に基づく数学的枠組みを構築し、不変でない、進化する物理系を記述可能とする。
• 保存則が非同一な進化的関係を通じて物理的場や多様体を生成する役割を明確化すること。
• 光の速度が退化変換を通じてマクスウェル方程式において統合方向としてどのように現れるかを示すこと。
• 不変（外的）形式と進化的（非閉じた）形式を統合し、数学的物理学の包括的数学的道具立てを構築すること。

提案手法

• 閉じていない計量形式を有する多様体上で定義される進化的微分形式を導入し、閉じた外的微分形式と対比する。
• 非同一関係、非共役作用素、退化変換を数学的道具立ての核とし、外的微分形式の同一で共役され、非退化する枠組みとは対照する。
• マクスウェル方程式に理論を適用し、ベクトル方程式をポインティングベクトルに一致する方向に射影することで、微分形式の関係を導出する。
• ポインティングベクトルが測定可能で閉じた形式となる条件を特定する：非共役力項およびエネルギー項が離散的に消えるとき、すなわち (Q^e dt + Q′i dl₁) = 0 であるとき。
• 非共役項の消滅から統合方向 dl₁/dt = c が導かれ、これが解多様体の幾何的性質として光の速度として特定されることを示す。
• 重力場への適用において、3次非同一進化的関係の退化変換からアインシュタイン方程式が導かれることが示され、これは擬リーマン空間に対応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 構造形成や量子的ステップといった進化的プロセスを、閉じた外微分形式の範囲を超えて数学的に記述する方法は何か？
• RQ2 進化的形式の数学的構造は、閉じた外的微分形式と比べて、閉じる性質、共役性、退化性の観点でどのように異なるか？
• RQ3 マクスウェル方程式において、ポインティングベクトルが測定可能で閉じた微分形式となる条件は何か？
• RQ4 進化的微分形式の文脈において、光の速度が幾何的統合方向としてどのように現れるか？
• RQ5 非同一な進化的関係の退化変換を通じてアインシュタイン場の方程式を導出できるか？

主な発見

• ポインティングベクトルが測定可能で閉じた形式となるのは、非共役項 (Q^e dt + Q′i dl₁) が恒等的にではなく離散的に消えるときであり、これは離散的転移を示唆する。
• 統合方向 dl₁/dt = c が dS = 0 の閉形式に対して生じ、光の速度が解多様体の幾何的性質として特定されることを示す。
• 第二双対不変量 I は dI = 0 のとき保存され、dS = 0 と併せて、進化的プロセスにおける保存量の存在を裏付ける。
• 閉じていない多様体上の進化的形式は非同一関係を生じさせ、その退化変換により正確な形式が得られ、アインシュタイン方程式のような物理法則の導出が可能になる。
• 曲率がゼロでない擬リーマン多様体からリーマン空間への変換は、進化的関係を同一化する退化変換が実現された状態に対応する。
• 保存則と非同一な進化的関係を通じたバランスが、物理的場や構造の起源に因果的メカニズムを提供し、不変理論と進化的理論を統合する。