[論文レビュー] Exterior Powers of Barsotti-Tate Groups

Mohammad Hadi Hedayatzadeh|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、体や局所ネーター的スキームを含むさまざまな基底上、次元が1以下の$π$-除的${\cal O}$-加群および$p$-除的群に対して、外冪の存在および基底変換に関する整合性を確立する。主な貢献は、高さと次元を保つ外冪の普遍的構成であり、明示的な公式：$\operatorname{ht}(\bigwedge^r G) = \binom{h}{r}$および$\dim(\bigwedge^r G) = \binom{d-1}{r-1}$（$p$-除的群$G$の高さが$h$、次元が$d \leq 1$）が得られる。これらの結果は算術的幾何学における古典的構成を一般化し、ウェイリングペアリングやディエュドンネモジュールを研究するための枠組みを提供する。

ABSTRACT

Let $ \CO $ be the ring of integers of a non-Archimedean local field and $ π$ a fixed uniformizer of $ \CO $. We establish three main results. The first one states that the exterior powers of a $ π$-divisible $ \CO $-module scheme of dimension at most 1 over a field exist and commute with algebraic field extensions. The second one states that the exterior powers of a $p$-divisible group of dimension at most 1 over arbitrary base exist and commute with arbitrary base change. The third one states that when $ \CO $ has characteristic zero, then the exterior powers of $ π$-divisible groups with scalar $ \CO $-action and dimension at most 1 over a locally Noetherian base scheme exist and commute with arbitrary base change. We also calculate the height and dimension of the exterior powers in terms of the height of the given $p$-divisible group or $ π$-divisible $ \CO $-module scheme.

研究の動機と目的

• 体上の次元が1以下の$\pi$-除的${\cal O}$-加群に対して、外冪の存在を確立すること。
• この構成を任意の基底スキーム上の$p$-除的群に拡張し、任意の基底変換と整合することを保証すること。
• ${\cal O}$が特徴標数0である場合、局所ネーター的基底上でスカラー${\cal O}$-作用をもつ$\pi$-除的${\cal O}$-加群の理論を一般化すること。
• 外冪の高さおよび次元が元の群の不変量の関数としてどのように関係するかを計算すること。
• $R$-加群スキームおよび$p$-除的群の文脈において、外冪のカテゴリカルな普遍性を提供すること。

提案手法

• 交替的$R$-多重線形準同型を用いて、$R$-加群スキームの圏における外冪の普遍的性質を形式化すること。
• $R$-多重線形ディエュドンネ理論およびディスプレイ理論を適用し、問題を加群論的言語に翻訳すること。
• 基底変換およびウェイル制限の技術を用いて、外冪が任意の基底変換と整合することを証明すること。
• 普遍的性質を用いて外冪を構成し、関連するディエュドンネモジュールおよびディスプレイを用いてその正当性を検証すること。
• $\pi$-除的${\cal O}$-加群の状況を扱うために、分岐ディスプレイおよび多重線形準同型の理論を活用すること。
• カルティエ双対性を用いて構成を検証し、例えば楕円曲線のウェイリングペアリングといった既知の例と比較すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元が1以下の$\pi$-除的${\cal O}$-加群は体上で外冪をもつのか。また、代数的体拡張と可換なのか。
• RQ2 次元が1以下の$p$-除的群は任意の基底スキーム上で外冪をもつのか。また、任意の基底変換と整合するのか。
• RQ3 基底環${\cal O}$が特徴標数0であり、群がスカラー${\cal O}$-作用をもつとき、外冪の挙動はいかなるものか。
• RQ4 外冪$\bigwedge^r G$の高さおよび次元は、元の$p$-除的群$G$の不変量とどのように関係するか。
• RQ5 楕円曲線のウェイリングペアリングは、その$p$-除的群の2番目の外冪を通じて、普遍的交替的準同型として実現されるのか。

主な発見

• $p$-除的群$G$の$r$-重外冪$\bigwedge^r G$は、高さ$h$、次元$d \leq 1$のとき存在し、高さは$\binom{h}{r}$、次元は$\binom{d-1}{r-1}$をとる。
• 体上の次元が1以下の$\pi$-除的${\cal O}$-加群に対して、外冪は存在し、代数的体拡張と可換である。
• 任意の基底スキーム上で、次元が1以下の$p$-除的群の外冪は存在し、任意の基底変換と整合する。
• ${\cal O}$が特徴標数0であるとき、局所ネーター的基底上でスカラー${\cal O}$-作用をもつ次元$\leq 1$の$\pi$-除的${\cal O}$-加群の外冪は存在し、任意の基底変換と可換である。
• 楕円曲線の$p$-除的群の2番目の外冪は$\mu_{p^\infty}$に同型であり、ウェイリングペアリングはこれの普遍的交替的準同型として実現される。
• $p$-除的群のスロープが$0$および$\frac{1}{n-m}$である場合、外冪$\bigwedge^r G$は明示的な重複度をもつスロープ分解を引き継ぐ。