[論文レビュー] Exterior Schwarzschild initial data for degenerate apparent horizons

Albert Chau, Adam Martens|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2020

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、Mantoulidis-Schoenの構成を拡張し、任意の滑らかな計量 $ g $ が $ \mathbb{S}^2 $ 上にあり、$ \lambda_1(-\Delta_g + K_g) = 0 $ を満たす場合、ADM質量がホーキング質量 $ \sqrt{\text{area}(\mathbb{S}^2,g)/16\pi} $ に限りなく近い漸近的に平坦な初期データセットにおける退化的（degenerate）な可視地平面として実現可能であることを示している。主な結果は、このような可視地平面のバートニク擬局所質量がまさにこのホーキング質量に等しくなることであり、$ \lambda_1 \geq 0 $ は、時間対称かつドミナントエネルギー条件を満たす設定下で計量が可視地平面として実現可能であるための必要十分条件である。

ABSTRACT

In this note we show that if $g$ is a smooth Riemannian metric on $\mathbb{S}^2$ such that the first eigenvalue of the operator $L_g:=-Δ_g +K_g$ satisfies $λ_1(L_g)=0$ then $(\mathbb{S}^2, g)$ arises as an apparent horizon in an asymptotically flat initial data set with ADM mass arbitrarily close to the associated Hawking mass $\sqrt{ ext{area}(\mathbb{S}^2, g)/16π}$. In particular, this determines the Bartnik quasilocal mass (introduced by Bartnik \cite{Bartnik} in 1989) associated with $(\mathbb{S}^2, g)$ in this setting. We prove these by modifying the construction of Mantoulidis-Schoen \cite{MS} who proved the same results in the case $λ_1(L_g)>0$. It follows that $λ_1(g)\geq 0$ is necessary and sufficient for $(\mathbb{S}^2, g)$ to arise from an apparent horizon in an asyptotically flat space-time under the dominant energy condition and in the time symmetric setting, and that the Bartnik mass of the horizon is $\sqrt{ ext{area}(\mathbb{S}^2, g)/16π}$.

研究の動機と目的

• 滑らかな計量 $ g $ が時間対称かつ漸近的に平坦な初期データセットでドミナントエネルギー条件を満たす場合、$ \mathbb{S}^2 $ 上で可視地平面として実現可能となる内在的条件を同定すること。
• 非退化状態（$ \lambda_1 > 0 $）におけるMantoulidis-Schoenの構成を、退化状態（$ \lambda_1 = 0 $）に拡張すること。
• $ \lambda_1 = 0 $ を満たす計量から生じる可視地平面のバートニク擬局所質量を特定すること。
• 集合 $ \overline{\mathscr{M}_+} = AH $ を確立すること。ここで $ \overline{\mathscr{M}_+} $ は $ \lambda_1 \geq 0 $ を満たす計量の集合であり、$ AH $ は可視地平面として実現可能な計量の集合である。

提案手法

• 計量 $ g $ を拡張する、$ \mathbb{S}^2 \times [0,1] $ 上のワーピング積のコロナを構成し、ワーピング因子を調整して $ \lambda_1 = 0 $ の条件を保つ。
• $ A \geq 1/c $ を満たすように、$ g_* $（球面計量）から $ \lambda_1 < 0 $ を持つ計量への連続的変形 $ g_t = e^{2tA w} g_* $ を用いる。この変形により、途中の $ t_0 $ で $ \lambda_1 = 0 $ となることが保証される。
• 連続写像 $ t \mapsto \lambda_1(g_t) $ に対して中間値の定理を適用し、共形類内に $ \lambda_1 = 0 $ を満たす計量が存在することを証明する。
• Mantoulidis-Schoenの構成を応用し、コロナを外部のシュバルツシルト領域に接続することで、非負のスカラー曲率と漸近的平坦性を保証する。
• 最終計量 $ G $ において、境界 $ \mathbb{S}^2 \times \{0\} $ が外側最適で、最小で、厳密に平均正曲率が正であることを確認する。
• リーマン・ペネロープの不等式を用いて、ADM質量がホーキング質量 $ \sqrt{\text{area}/16\pi} $ に限りなく近づくことができることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ \lambda_1(-\Delta_g + K_g) \geq 0 $ は、滑らかな計量 $ g $ が時間対称かつ漸近的に平坦な初期データセットで非負のスカラー曲率を満たす場合、可視地平面として実現可能であるための必要十分条件か？
• RQ2 可視地平面の $ \lambda_1 = 0 $ を満たす場合、そのバートニク擬局所質量が正確に $ \sqrt{\text{area}(\mathbb{S}^2,g)/16\pi} $ に等しいか？
• RQ3 Mantoulidis-Schoenの構成は、退化状態 $ \lambda_1 = 0 $ に拡張可能であり、ADM質量をホーキング質量に限りなく近づける能力を保持するか？
• RQ4 $ \lambda_1 = 0 $ を満たす計量 $ g $ は、非負のスカラー曲率をもつ完全で漸近的に平坦な3次元多様体に拡張可能であり、最小境界をもつのか？

主な発見

• $ \overline{\mathscr{M}_+} \subset AH $ が成り立つ。これは、$ \lambda_1(-\Delta_g + K_g) \geq 0 $ を満たす任意の滑らかな計量 $ g $ が、漸近的に平坦な初期データセットにおいて可視地平面として実現可能であることを意味する。
• 任意のこのような可視地平面 $ (\mathbb{S}^2, g) $ のバートニク擬局所質量は正確に $ \sqrt{\text{area}(\mathbb{S}^2,g)/16\pi} $ に等しい。
• 任意の $ m > \sqrt{\text{area}(\mathbb{S}^2,g)/16\pi} $ に対して、$ \mathbb{S}^2 \times [0,\infty) $ 上に滑らかで漸近的に平坦な計量 $ G $ が存在し、ADM質量が $ m $、スカラー曲率が非負であり、境界 $ \partial M = \mathbb{S}^2 \times \{0\} $ が外側最適な最小曲面である。
• 境界 $ \partial M $ は第二基本形式が消え、$ t > 0 $ のときのフォリエーション球面 $ \mathbb{S}^2 \times \{t\} $ は厳密に平均正曲率が正である。
• 最終計量 $ G $ は十分大きな $ t $ に対して標準的な質量 $ m $ のシュバルツシルト計量と一致し、漸近的平坦性が保証される。
• 構成は、球面計量から $ \lambda_1 = 0 $ を満たす計量への共形変形経路に依存しており、連続性と中間値の定理を用いて望ましいスペクトル条件を達成する。