[論文レビュー] Extinction and spreading of a species under the joint influence of climate change and a weak Allee effect: a two-patch model

Juliette Bouhours, Thomas Giletti|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2016

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、気候変動に伴う生息地の移動と弱いアレー効果を受ける種を想定した二画分反応拡散モデルを研究する。種の絶滅または拡散の結果は、気候移動速度と初期個体数の両者に強く依存しており、初期条件に依存する非自明な臨界速度が存在することを示している。これは、KPPの場合には速度のみに依存するのと対照的である。

ABSTRACT

Many species see their range shifted poleward in response to global warming and need to keep pace in order to survive. To understand the effect of climate change on species ranges and its consequences on population dynamics, we consider a space-time heterogeneous reaction-diffusion equation in dimension 1, whose unknown~$u (t,x)$ stands for a population density. More precisely, the environment consists of two patches moving with a constant climate shift speed $c \geq 0$: in the invading patch $\{ t >0 , \, x \in \R \, | \ x < ct \}$ the growth rate is negative and, in the receding patch $\{ t >0 , \, x \in \R \, | \ x \geq ct \}$ it is of the classical monostable type. Our framework includes species subject to a weak Allee effect, meaning that there may be a positive correlation between population size and its per capita growth rate. We study the large-time behaviour of solutions in the moving frame and show that whether the population spreads or goes extinct depends not only on the speed $c$ but also, in some intermediate speed range, on the initial datum. This is in sharp contrast with the so-called `hair-trigger effect' in the homogeneous monostable equation, and suggests that the size of the population becomes a decisive factor under the joint influence of climate change and a weak Allee effect. Furthermore, our analysis exhibit sharp thresholds between spreading and extinction: in particular, we prove the existence of a threshold shifting speed which depends on the initial population, such that spreading occurs at lower speeds and extinction occurs at faster speeds.

研究の動機と目的

• 気候駆動型生息地移動と弱いアレー効果が、種の存続または絶滅に与える影響を理解すること。
• 弱いアレー効果が導入された場合に、単安定反応拡散方程式における古典的な「ヘアトリガー効果」が維持されるかどうかを調査すること。
• 中程度の気候移動速度下で、拡散または絶滅の結果が初期個体数に依存するかどうかを特定すること。
• 拡散と絶滅を分ける鋭い臨界速度 $ c(u_0) $ を特定し、その初期データへの依存関係を分析すること。
• 初期個体数分布に基づいて長期的個体数の運命を決定する臨界速度 $ c(u_0) $ の存在を確立すること。

提案手法

• 時間的・空間的に変化する反応項 $ f(x - ct, u) $ を有する1次元反応拡散方程式を定式化し、移動する気候帯をモデル化する。
• 反応項を、不適切な領域（$ x - ct < 0 $）では負に、適切な領域（$ x - ct \geq 0 $）では単安定に設定し、$ g'(0) > 0 $ を用いて弱いアレー効果を含める。
• 下界および上界解の手法と比較原理を用いて、移動座標系 $ z = x - ct $ における長期的挙動を分析する。
• 解の符号変化に関するシュトゥルムの原理を適用し、零点集合の追跡と波状構造の単調性を確立する。
• 速度パrameter $ c $ における連続性の議論と一様な有界性を用いて、初期データに依存する臨界速度の存在を証明する。
• 移動座標系における解の挙動を分析し、ゼロへの収束（絶滅）または非自明な定常状態への収束（拡散）を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱いアレー効果が存在する場合、気候移動下での種の存続のための古典的臨界速度が、KPPの場合と比べてどのように変化するか？
• RQ2 中程度の気候移動速度下で、初期個体数が種の拡散または絶滅を決定づけることができるか？
• RQ3 拡散と絶滅を分ける鋭い臨界速度 $ c(u_0) $ が存在するか。その速度は初期個体数分布にどのように依存するか？
• RQ4 $ c > 2\sqrt{g'(0)} $ と $ c = 2\sqrt{g'(0)} $ の場合に、移動座標系における解の挙動はどのように異なるか。特に、絶滅または定着（グランドイング）の観点から分析すること。
• RQ5 解が一様にゼロに収束する条件（絶滅を示す）は何か。また、移動座標系で解が存続する条件は何か？

主な発見

• 拡散と絶滅を分ける臨界速度 $ c(u_0) $ は、初期個体数 $ u_0 $ に非自明に依存するが、KPPの場合とは異なり、速度のみに依存するわけではない。
• 中程度の速度 $ c \in [2\sqrt{g'(0)}, c^*) $ の範囲では、結果（拡散または絶滅）は $ c $ のみではなく、初期データにも依存する。
• $ c = c(u_0) > 2\sqrt{g'(0)} $ の場合、アレー効果のため、KPPの臨界速度 $ c^* $ よりも低いにもかかわらず、定着（最終的絶滅）が発生する。
• 初期個体数の大きさに応じて増加する臨界速度 $ c(u_0) $ が存在し、$ c < c(u_0) $ のときには拡散が発生し、$ c > c(u_0) $ のときには絶滅が発生する。
• $ c = c(u_0) $ のとき、解は $ t \to \infty $ で一様にゼロに収束し、絶滅が確認される。これは、KPPの臨界速度より低い場合でも成立する。
• 拡散と絶滅の間の鋭い臨界が存在することを証明し、その臨界速度は初期個体数の空間的サポートおよび大きさに依存する。