[論文レビュー] Extinction time of a CB-processes with competition in a L\'evy random environment

Hélène Leman, Juan Carlos Pardo|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、Lévy確率環境下における競争を伴う連続状態ブランチング過程の消滅時刻を研究する。Lamperti型変換を用いて、特異的正のLévy過程によって駆動される摂動付きFeller拡散過程と関連付けることで、グレイの条件と環境の非ドリフト、または競争の技術的可積分性条件の下で、確率的有限時刻内での消滅を証明する。また、リッカティ方程式を用いて、明示的なラプラス変換と期待値が導出される。

ABSTRACT

In this paper, we are interested on the extinction time of continuous state branching processes with competition in a L\'evy random environment. In particular we prove, under the so-called Grey's condition together with the assumption that the L\'evy random environment does not drift towards infinity, that for any starting point the process gets extinct in finite time a.s. Moreover if we replace the condition on the L\'evy random environment by a technical integrability condition on the competition mechanism, then the process also gets extinct in finite time a.s. and it comes down from infinity. Then the logistic case in a Brownian random environment is treated. Our arguments are base on a Lamperti-type representation where the driven process turns out to be a perturbed Feller diffusion by an independent spectrally positive L\'evy process. If the independent random perturbation is a subordinator then the process converges to a specified distribution; otherwise, it goes extinct a.s. In the latter case and following a similar approach to Lambert (Ann. Appl. Probab., 15(2):1506-1535, 2005.), we provide the expectation and the Laplace transform of the absorption time, as a functional of the solution to a Riccati differential equation.

研究の動機と目的

• ランダムな環境変動下における競争を伴う連続状態ブランチング過程の確率的有限時刻内での消滅を分析すること。
• このような過程が無限大から「降下」する（即ち、急速に消滅に収束する）条件を特定すること。
• 独立した特異的正のLévy過程を摂動として組み込んだFeller拡散過程に対する既存結果を拡張すること。
• リッカティ微分方程式を用いて、吸収時刻のラプラス変換および期待値の明示的表現を導出すること。
• 一般枠組みの具体的応用として、ブラウン運動的確率環境下のロジスティックケースを検討すること。

提案手法

• 競争を伴うCB過程を、特異的正のLévy過程によって駆動される摂動付きFeller拡散過程に変換するLamperti型表現を用いる。
• 駆動するLévy過程の性質、特にそれが部分的増加過程（subordinator）であるかどうかに着目して、変換後の過程の長期的挙動を分析する。
• ラムベール（2005）にインspiredされた確率的比較法を適用して、吸収時刻のラプラス変換および期待値を導出する。
• リッカティ微分方程式を、消滅時刻のラプラス変換を特徴付ける関数的道具として用いる。
• 2つの異なる条件下での消滅結果を確立する：グレイの条件に加え環境の非ドリフト、および競争機構の可積分性条件。
• 部分的増加過程による摂動（定常分布への収束をもたらす）とそれ以外のケース（確率的有限時刻内での消滅をもたらす）を区別する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lévy確率環境下における競争を伴う連続状態ブランチング過程が、どのような条件下で確率的有限時刻内に消滅するか？
• RQ2 特異的正のLévy過程がランダム摂動として存在する場合、その過程の消滅挙動にどのような影響を与えるか？
• RQ3 過程が無限大から降下するのはいつか？ その性質を保証する条件は何か？
• RQ4 消滅時刻のラプラス変換および期待値を明示的に特徴づけられるか？ もしそうなら、その方法は何か？
• RQ5 本フレームワーク下で、ブラウン運動的確率環境下のロジスティックCB過程の挙動はいかなるものか？

主な発見

• グレイの条件を満たし、Lévy確率環境が無限大にドリフトしないと仮定すれば、初期集団サイズにかかわらず、過程は確率的有限時刻内に消滅する。
• 競争機構が技術的可積分性条件を満たす場合、同様に確率的有限時刻内に消滅し、かつ無限大から降下する。
• 独立した摂動が部分的増加過程（subordinator）である場合、過程は非退化限界分布に分布収束するが、そうでない場合には確率的有限時刻内に消滅する。
• 吸収時刻のラプラス変換および期待値は、リッカティ微分方程式の解の関数的として明示的に特徴づけられる。
• ブラウン運動的確率環境下のロジスティックケースは特別な場合として取り扱われ、一般の消滅結果が具体的な設定で確認される。
• Lamperti型変換により、競争を伴うCB過程の複雑なダイナミクスが、Lévyノイズを伴うより取り扱いやすい拡散過程に簡略化された。