[論文レビュー] Extra connectivity measures of 3-ary n-cubes

Qiang Zhu, Xinke Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|May 5, 2011

Interconnection Networks and Systems参考文献 11被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、リー距離に基づく分解を用いて、3-部族n-キューブの1-余分および2-余分接続性を決定する。n ≥ 2 の場合、1-余分接続性は 4n−3 であり、n ≥ 3 の場合、2-余分接続性は 6n−7 であると証明しており、この相互接続ネットワークトポロジーの基本的な故障耐性指標を確立する。

ABSTRACT

The h-extra connectivity is an important parameter to measure the reliability and fault tolerance ability of large interconnection networks. The k-ary n-cube is an important interconnection network of parallel computing systems. The 1-restricted connectivity of k-ary n-cubes has been obtained by Chen et al. for k > 3 in [Y.-C. Chen, J. J. M. Tan, Restricted connectivity for three families of interconnection networks, Applied Mathematics and Computation 188 (2) (2007)1848--1855]. Nevertheless, the h-extra connectivity of 3-ary n-cubes has not been obtained yet. In this paper we prove that the 1-extra connectivity of a 3-ary n-cube is 4n-3 for n> 1 and the 2-extra connectivity of 3-ary n-cube is 6n-7 for n> 2.

研究の動機と目的

• k ≥ 4 のk-部族n-キューブについては既知であるが、3-部族n-キューブの1-余分および2-余分接続性は未だ特徴づけられていないため、これを確立すること。
• 並列計算で広く使われている3-部族n-キューブの故障耐性指標のギャップを埋めること。
• 制限された故障状態下でのネットワーク信頼性をより正確に反映するh-余分接続性の正確な値を提供すること。
• リー距離と部分キューブ分解を活用して、頂点カット制約下での構造的頑健性と接続性を分析すること。

提案手法

• 任意の次元に沿って、3-部族n-キューブを3つの互いに素な(n−1)次元部分キューブに分解するために、リー距離およびリー重みを用いる。
• h-余分頂点カットの概念を適用し、G−Sの各成分がh個より多くの頂点を持つことを条件としてκ_h(G)を定義する。
• 分解 Q_n^3 = 0Q_{n-1}^3 ⊕ 1Q_{n-1}^3 ⊕ 2Q_{n-1}^3 に基づく帰納的推論と構造的解析を用いて接続性を評価する。
• 部分キューブ間の対応するノードの完全マッチングを用いて、頂点削除後のネットワーク全体にわたる接続経路を追跡する。
• |S| ≤ 6n−8 であると仮定し、孤立頂点や孤立辺が存在しない場合に Q_n^3 − S が接続されていることを示すことで、下界を証明する。
• 上界を検証するために、それぞれサイズ 4n−3 および 6n−7 の明示的な h-余分頂点カットを構築し、タイトネスを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n ≥ 2 の場合、3-部族n-キューブの1-余分接続性は何か？
• RQ2 n ≥ 3 の場合、3-部族n-キューブの2-余分接続性は何か？
• RQ3 リー距離と部分キューブ分解を用いて、3-部族n-キューブにおける故障耐性をどのように分析できるか？
• RQ4 k=3 の場合に、h-余分接続性を正確に決定できるか？（k=3 の場合、未解決のままである。）
• RQ5 3-部族n-キューブのどの構造的性質が、h-余分接続性制約下での高い故障耐性を支えているか？

主な発見

• すべての n ≥ 2 に対して、3-部族n-キューブの1-余分接続性は正確に 4n−3 であり、これはスーパー接続性を確認する。
• すべての n ≥ 3 に対して、3-部族n-キューブの2-余分接続性は正確に 6n−7 であり、明確な故障耐性しきい値を確立する。
• サイズ 4n−3 の明示的な1-余分頂点カットが構築され、κ_1(Q_n^3) の上界が証明された。
• サイズ 6n−7 の明示的な2-余分頂点カットが構築され、κ_2(Q_n^3) の上界が証明された。
• 下界の証明は、サイズが 6n−8 以下の任意の頂点集合 S に対して、Q_n^3 − S が孤立頂点や孤立辺を含まない限り接続されていることを示している。
• 結果は、3-部族n-キューブが制限された故障モデル下でも高い信頼性を維持しており、接続性がnに対して線形に増加することを確認する。