[論文レビュー] Extra Dimensions: Will their Spinors Play a Role in the Standard Model?

Gert Roepstorff|ArXiv.org|Oct 9, 2003

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ひとこと要約

本稿では、リーマン幾何を備えた10次元内部多様体上に、1世代分のクォークおよびレプトンを1つのスピン場として統一する可能性を提案する。4次元ディラックスピン場と10次元スピン場の積として構成されるスピン bundle を用い、鏡像フェルミオンを避ける。モデルは、$SL(2,\mathbb{C})\times\mathrm{Spin}(10)$ を、標準模型を越える統一理論の候補として特定し、カラビ＝ヤウに類似した多様体上の$G$-構造と関連付ける。

ABSTRACT

A question is addressed pertinent to models of fundamental fermions in a world of high dimensions. Tex extra compactified dimensions are needed to accommodate quarks and leptons of each generation in a single spinor space carrying a representation of the spin group Spin(10). We present arguments to support a special choice of the geometry.

研究の動機と目的

• 高次元におけるフェルミオンの内容が、1つのスピン表現に自然に埋め込まれるかを検討すること。
• 高次元統一モデルにおける鏡像フェルミオンの欠如を、内部多様体上の幾何的スピン場構造を導入することで解決すること。
• スピンバンドルを介して $\mathrm{SO}(10)$ に埋め込むことにより、$\mathrm{SU}(3)\times\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{U}(1)$ ゲージ群の幾何的起源を同定すること。
• 複素5次元多様体上の $G$-構造（ホロノミーが標準模型のゲージ群と一致する）を具体的に提案すること。

提案手法

• 時空を $M = M_1 \times M_2$ の積多様体としてモデル化し、$M_1$ を4次元ミンコフスキー空間、$M_2$ をコンパクトな10次元内部リーマン多様体とする。
• 4次元ディラックスピン場と $M_2$ に関連する10次元スピン場のテンソル積として $M$ 上のスピンバンドルを構成し、$M_2$ 上のクリフォード代数およびスピン構造を用いる。
• クォークおよびレプトンの表現空間として外代数 $\bigwedge \mathbb{C}^5$ を用い、これは自然に $G = S(U(3)\times U(2))$ の可約表現をもつ。
• $G$ を $\mathrm{SO}(10)$ の部分群として特定し、$\mathrm{Spin}(10)$ に埋め込んでフェルミオンを1つのスピン場に統一する。
• 複素5次元多様体に、計量 $g$、ケーラー形式 $\omega$、正則体積形式 $\Omega$、および $(n-1,n-1)$-形式 $\Theta$ からなる4つ組の形式を持つ $G$-構造を導入し、標準模型のゲージ群を保存する。
• 計量 $g$、$\omega$、$\Omega$、$\Theta$ をすべて保存する群が、$n=2m$ または $n=2m+1$ の場合にそれぞれ $S(U(m)\times U(m))$ または $S(U(m+1)\times U(m))$ と同型であり、$n=5$ の場合に標準模型のゲージ群と一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元多様体上に、鏡像フェルミオンを導入せずに、1世代分の標準模型フェルミオンを1つのスピン表現に統一できるか？
• RQ2 内部多様体 $M_2$ にどのような幾何的構造が、$\mathrm{SU}(3)\times\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{U}(1)$ ゲージ群を自然に生じさせるか？
• RQ3 積多様体 $M_1 \times M_2$ 上のスピンバンドルが、外代数 $\bigwedge \mathbb{C}^5$ を介してどのように標準模型フェルミオンの内容を実現するか？
• RQ4 複素5次元多様体上の $G$-構造が、高次元幾何から標準模型ゲージ対称性を実現する上で果たす役割は何か？
• RQ5 $SL(2,\mathbb{C})\times\mathrm{Spin}(10)$ の組み合わせ対称性が、標準模型を越える統一理論において基本的対称性として出現できるか？

主な発見

• 1世代分のフェルミオンを1つのスピン空間に埋め込むには10次元の余剰次元が必要であり、内部多様体 $M_2$ はスピン構造を備えた10次元リーマン多様体である。
• 1世代分のフェルミオン内容は、自然に $\bigwedge \mathbb{C}^5$ の表現空間に統一され、これはゲージ群 $G = S(U(3)\times U(2))$ の可約表現をもつ。
• 鏡像フェルミオンを避けるために、4次元ディラックスピン場と $M_2$ の幾何に結びついた10次元スピン場の積としてスピン場を構成し、オルビフォールディングを用いない。
• $SL(2,\mathbb{C})\times\mathrm{Spin}(10)$ の組み合わせ対称性は、$\mathrm{Spin}(10)$ が内部スピン空間に作用することにより、統一理論の候補として出現する。
• 計量 $g$、ケーラー形式 $\omega$、正則体積形式 $\Omega$、および $(n-1,n-1)$-形式 $\Theta$ からなる4つ組の形式を持つ複素5次元多様体上の $G$-構造は、標準模型のゲージ群 $\mathrm{SU}(3)\times\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{U}(1)$ を、ホロノミーを保存する部分群として実現する。
• $n=5$ の場合、4つの形式をすべて保存する群は $S(U(3)\times U(2))$ であり、これは標準模型のゲージ群と一致する。これにより、ゲージ対称性の幾何的起源が示唆される。