[論文レビュー] Extraction of harmonics from trigonometric polynomials by amplitude and phase operators

V. I. Danchenko, Darya Vasilchenkova|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2016

Electromagnetic Scattering and Analysis参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、振幅と位相演算子（AFO）を用いて、実三角多項式から特定の高調波成分を正確に抽出するための新規な解析的手法を提案する。この手法は、元の多項式の位相シフトおよびスケーリングされたコピーの有限線形結合として高調波を構築し、$n = s\mu - 1$ という条件下で、必要な振幅と位相の正確な閉形式式を導出する。これは、従来のスペクトル法やProny法に見られる制限を克服するものである。

ABSTRACT

Extraction of harmonics of a given order from real trigonometric polynomials (signals) is one of the main problems in harmonic analysis. It has many applications in physics, radio and electrical engineering, in particular, in filtration of harmonic signals of different nature. There exist many methods (mainly, approximative) for solution of this problem. The most common ones are spectral methods based on Fourier transform and other resonance principles. In this paper we propose a new method for extracting harmonics by amplitude and phase transformation of trigonometric polynomials. These transformations use the two simplest operations -- multiplication by a real constant and phase shift -- to obtain polynomials similar to the initial ones. A harmonic is extracted by an amplitude and phase operator that simply overlays (sums up) a finite number of such similar polynomials. The overlay method enables us to obtain precise analytical formulas for calculating harmonics of a given order.

研究の動機と目的

• 実三角多項式 $T_n(x)$ から特定の高調波成分（順序 $\mu$）を抽出するという基本的問題を解決すること。
• スペクトル法や共鳴に基づく手法で一般的に見られる近似を避ける、高調波抽出の正確な解析的公式を導出する方法を開発すること。
• 単一の高調波成分を分離することができる、実数値の振幅・位相演算子（AFO）を、次数 $\leq n$ で構築する課題に対処すること。
• 標準的なProny法が $n = s\mu - 1$ の条件下で非正則解を生じるため機能不能となる問題を解消すること。
• 非正則解に対して正則化技術を適用し、有効で実数値のAFOパラメータを回復する手法を考案すること。

提案手法

• 振幅と位相演算子（AFO）を $H_m(T_n, \{X_j\}, \{\lambda_j\}; x) = \sum_{j=1}^n X_j \cdot T_n(x - \lambda_j)$ として定義する。ここで $X_j$ は振幅、$\lambda_j$ は位相シフトである。
• 問題は、複素変数 $Y_j = X_j z_j$ および $z_j = e^{-i\lambda_j}$ を含む離散モーメント問題に再定式化され、高調波抽出条件と等価な方程式系が得られる。
• 非正則解に対処するため、補助方程式を追加し、極限過程を用いて正則化を行う。特に $n = s\mu - 1$ の場合に有効である。
• 正則化プロセスでは、生成多項式 $\hat{G}_k$ を持つ $({\mathcal{B}}^{\prime\prime})$-正則系の列を構築し、有効な解への収束を保証する。
• 正則化系に対して古典的Prony法を適用し、$k \to \infty$ の極限で根 $z_j^{(k)}$ が所望の値に収束することを示す。
• 最終的な解は、AFOが実数値であり、正確に次数 $n$ であることを保証し、条件 $\tau_\mu(x) = H_n(\cdots)$ を満たす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数 $n$ の三角多項式から高調波順序 $\mu$ を正確に抽出できる実数値の振幅・位相演算子を構築可能か？
• RQ2 $n$ と $\mu$ にどのような条件が課されると、高調波抽出問題の正確な解析的解が存在するか？
• RQ3 標準的なProny法が $n = s\mu - 1$ のとき失敗するのはなぜか？ その失敗をどのように回避できるか？
• RQ4 非正則解に対して正則化技術をどのように適用し、有効で実数値のAFOパラメータを回復できるか？
• RQ5 正則化系における根と係数の極限的挙動は何か？ それが正しい高調波への収束を保証する仕組みは？

主な発見

• $s \in \mathbb{N}$ である $n = s\mu - 1$ の場合、$\mu$ 番目の高調波を抽出するために必要な振幅 $X_j$ と位相シフト $\lambda_j$ について、明示的かつ正確な解析的公式を導出している。
• 非正則系に正則化処理を施し、その極限が有効で実数値のAFOを生成することを保証している。
• 正則化系の根 $z_j^{(k)}$ は、$k \to \infty$ の極限で正しい値に収束する：$j = 1,\dots,\mu-1$ に対して $z_j^{(k)} \to 0$、$j = \mu,\dots,n$ に対して $z_j^{(k)} \to z_j$ となる。
• この手法により、AFOが実数値であり、正確に次数 $n$ であることが保証され、条件 $\tau_\mu(x) = H_n(\cdots)$ を満たす。最終解は正則化系の極限から得られる。
• 係数 $Z_j^{(k)}$ が有限極限に収束することから、与えられた条件下で元の系 (1.3) に解が存在することが確認される。
• 古典的Prony法が $n = s\mu - 1$ の条件下で非正則解を生じるため機能不能となる問題を、本手法が効果的に克服している。