[論文レビュー] Extrapolation of compactness on weighted spaces II: Off-diagonal and limited range estimates

Tuomas Hytönen, Stefanos Lappas|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2020

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 33被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、ハイトネン（2020年）による先行研究を一般化し、重み付きLebesgue空間上の線形作用素のコンパクト性の外挿を非対角型および範囲制限型の設定へ拡張する。補間理論を適応し、線形作用素のコンパクト性基準を活用することで、単一の重み付き空間におけるコンパクト性が、全範囲の重み付き$L^p$空間におけるコンパクト性を示す。これは、分数的積分作用素および擬微分作用素の交換子、ならびにボッハナー＝リーズ乗数に対する結果を回復・拡張する。

ABSTRACT

In a previous paper by one of us, a "compact version" of Rubio de Francia's weighted extrapolation theorem was proved, which allows one to extrapolate the compactness of an operator from just one space to the full range of weighted spaces, where this operator is bounded. In this paper, we obtain generalizations of this extrapolation of compactness for operators that are bounded from one space to a different one ("off-diagonal estimates") or only in a limited range of the $L^p$ scale. As applications, we easily recover recent results on the weighted compactness of commutators of fractional integrals and pseudo-differential operators, and obtain new results about the weighted compactness of Bochner--Riesz multipliers.

研究の動機と目的

• 単一重みから非対角型および範囲制限型の作用素設定へのコンパクト性の外挿を一般化すること。
• $L^p(w^p)$から$L^q(w^q)$への作用素（$p \neq q$）に対して、コンパクト性の外挿原理を拡張すること。
• 交換子やボッハナー＝リーズ乗数のような作用素の重み付きコンパクト性を証明する統一的枠組みを提供すること。
• 補間に基づく手法を用いて、最近の擬微分作用素の交換子および分数的積分作用素の重み付きコンパクト性に関する結果を回復・強化すること。

提案手法

• ルビオ・デ・フランシアの外挿枠組みをコンパクト性に適応させるために、重み付きノルム不等式と補間理論を組み合わせる。
• 実補間による重み付きLebesgue空間$L^p(w^p)$の補間を通じて、Cwikel–Kaltonの抽象的コンパクト性外挿定理を重み付きLebesgue空間に適用する。
• 重み付き逆ホルダーおよび$A_{p,q}$類を用いて、コンパクト性が保たれる重みの全範囲を特徴付ける。
• グローバル重みを外挿処理で扱うために、$\varphi(t) = 1 + t$である$A_p^\zeta(\varphi)$重み類を用いる。
• 符号の$CMO$条件を満たすことで、カルデロン＝ジグムンド作用素およびその交換子に対して外挿結果を適用する。
• すべての$p \in (1,\infty)$および$w \in A_p^\zeta(\varphi)$に対して$L^p(w)$上での有界性に加え、非重み付き$L^{p_1}$空間上でのコンパクト性が成立するならば、すべての重み付き$L^p(w)$空間上でのコンパクト性が導かれるという事実に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 作用素が単一の重み付き$L^p$空間上でのコンパクト性を有するならば、$p \in (1,\infty)$および$w \in A_p^\zeta(\varphi)$に対して、すべての$L^p(w)$空間上でもコンパクト性が外挿可能か？
• RQ2 コンパクト性の外挿は、異なるLebesgue空間間での有界性（$p \neq q$）を有する作用素、すなわち$L^p(w^p)$から$L^q(w^q)$への作用素へも拡張可能か？
• RQ3 コンパクト性外挿原理は、有界性が$(1,\infty)$の部分区間内でのみ成立するような、範囲制限付き有界性を持つ作用素に対しても適用可能か？
• RQ4 この枠組みは、最近の擬微分作用素の交換子およびボッハナー＝リーズ乗数の重み付きコンパクト性に関する結果を回復・一般化できるか？

主な発見

• 線形作用素$T$が、ある$w_1 \in A_{p_1,q_1}(\mathbb{R}^d)$に対して$L^{p_1}(w_1^{p_1})$から$L^{q_1}(w_1^{q_1})$へのコンパクト作用素であるならば、$\frac{1}{p} - \frac{1}{q} = \frac{1}{p_1} - \frac{1}{q_1}$を満たすすべての$p,q$およびすべての$w \in A_{p,q}(\mathbb{R}^d)$に対して、$T$は$L^p(w^p)$から$L^q(w^q)$へのコンパクト作用素である。
• ある作用素が$L^p(w)$空間の有限範囲でのみ有界である場合、ある$w_1 \in A_{p_1/p_-} \cap RH_{(p_+/p_1)'}$に対して$L^{p_1}(w_1)$上でのコンパクト性が成立するならば、すべての$p \in (p_-, p_+)$およびすべての$w \in A_{p/p_-} \cap RH_{(p_+/p)'}$に対して、$L^p(w)$上でのコンパクト性が成立する。
• この手法により、最近得られた結果（$b \in CMO(\mathbb{R}^d)$および$T \in L_{1,0}^0$である交換子$[b,T]$は、すべての$p \in (1,\infty)$および$w \in A_p^\zeta(\varphi)$、$\varphi(t) = 1 + t$、$\zeta > 0$に対して$L^p(w)$上でコンパクトである）が回復され、フレシェ＝コルモゴロフの基準による直接的検証を回避できる。
• この枠組みはボッハナー＝リーズ乗数に対しても適用可能であり、$p \in (1,\infty)$および$A_p^\zeta(\varphi)$重みの全範囲におけるそれらの重み付きコンパクト性に関する新規な結果を導く。
• コンパクト性の外挿は、実補間およびCwikel–Kaltonの抽象的コンパクト性基準を用いて達成され、これにより、端点空間上でのコンパクト性が保証されれば、補間空間上でもコンパクト性が保証される。
• 結果は、有界性が知られている重みおよび指数の全範囲をカバーするという意味で鋭く、スケール全体にわたってコンパクト性が一様に保たれている。