[論文レビュー] Extremal antipodal polygons and polytopes

Oswin Aichholzer, L.E. Caraballo+4 more|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2013

Mathematics and Applications参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、円周上に配置された2n個の点から形成されるすべての反対称多角形のうち、面積が最大または最小となる反対称多角形を完全に特徴づける。線形時間でこれらの極値多角形を計算するアルゴリズムを提示し、それが高次元に拡張されないことを、3次元以降の反例によって示している。

ABSTRACT

Let $S$ be a set of $2n$ points on a circle such that for each point $p \in S$ also its antipodal (mirrored with respect to the circle center) point $p'$ belongs to $S$. A polygon $P$ of size $n$ is called \emph{antipodal} if it consists of precisely one point of each antipodal pair $(p,p')$ of $S$. We provide a complete characterization of antipodal polygons which maximize (minimize, respectively) the area among all antipodal polygons of $S$. Based on this characterization, a simple linear time algorithm is presented for computing extremal antipodal polygons. Moreover, for the generalization of antipodal polygons to higher dimensions we show that a similar characterization does not exist.

研究の動機と目的

• 円周上に配置されたすべての可能な反対称配置において、面積が最大および最小となる反対称多角形を特徴づけること。
• 極値反対称多角形を線形時間で計算する効率的なアルゴリズムを開発すること。
• 平面における極値多角形の特徴づけが、高次元における反対称ポリトープに一般化されるかどうかを調査すること。
• 原点を含む（厚さのある）反対称多角形が、常に原点を含まない（薄い）多角形よりも面積が大きいかどうかを特定すること。
• d次元空間における極値反対称ポリトープの存在と性質を調査すること。

提案手法

• 反対称点集合を、各点がその反対称点をもつ円周上の2n個の点として定義する。
• 原点を通る閉半平面上にすべての頂点が存在する多角形を「薄い」反対称多角形と定義し、原点を通る任意の直線が定める開半平面上に頂点が分布する多角形を「厚い」反対称多角形と定義する。
• 極値面積多角形が、最小面積の場合に連続する頂点、最大面積の場合に交互に配置された頂点を有することを、角順序で特徴づける。
• 幾何学的および組合せ論的議論を用いて、交互配置が面積を最大化し、連続配置が面積を最小化することを証明する。
• 3次元以降の反例を構築し、選択された反対称部分集合の凸包の体積比較によって、頂点分布による特徴づけが失敗することを示す。
• Galeの補題を適用して、特定の構成において高次元空間における「厚い」反対称ポリトープの存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた反対称点集合に対して、常に「厚い」反対称多角形の面積が「薄い」反対称多角形の面積よりも大きいだろうか？
• RQ2 極値反対称多角形（最大および最小面積）を線形時間で計算できるだろうか？
• RQ3 平面における特徴づけと同様の、高次元における極値反対称多角形の特徴づけは存在するだろうか？
• RQ4 d次元空間におけるすべての反対称点集合に対して、「厚い」反対称ポリトープは存在するだろうか？
• RQ5 k < n である (2n,k)-問題（極値反対称k多角形の特定）は、平方未満の時間で解けるだろうか？

主な発見

• 最小面積反対称多角形は、頂点が円周上を角順に連続して並んでいる場合に達成される。
• 最大面積反対称多角形は、頂点が角順に反対称ペアを交互に含む場合に達成される。
• 点の角順序に基づいて、最小面積および最大面積反対称多角形を線形時間で計算するアルゴリズムが存在する。
• 3次元およびそれ以上の次元では、頂点の分布による極値ポリトープの特徴づけは失敗する。これは、非厚いポリトープの体積が厚いポリトープの体積よりも大きい反例によって示されている。
• d次元における「厚い」反対称ポリトープの凸包の体積は、非厚いものに対して最大で 1/2^{d-2} まで小さくなる可能性があり、厚さが極値性を保証しないことを示している。
• Galeの補題により、d次元空間における特定の構成に対して「厚い」反対称ポリトープの存在が保証されるが、すべての反対称点集合に対しては保証されない。