[論文レビュー] Extremal density for sparse minors and subdivisions

John Haslegrave, Jaehoon Kim+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2020

Advanced Graph Theory Research参考文献 34被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、やや分離性の高い条件を満たすスパースで有界次数の二部グラフの部分分割を強制するために必要な平均次数の漸近的タイトな境界を確立する。構造的グラフ理論と確率的技法を用いて、$ t \times t $ グリッドを位相的マイナーとして含むには平均次数 $ (1+o(1))t^2 $ で十分であり、すべての $ t $ 頂点の平面グラフをマイナーとして含むには $ (3/2+o(1))t $ が必要であることを証明している。定数 $ 3/2 $ は最適であり、任意の固定された曲面上に埋め込めるグラフに対しても同様に成り立つ。

ABSTRACT

We prove an asymptotically tight bound on the extremal density guaranteeing subdivisions of bounded-degree bipartite graphs with a mild separability condition. As corollaries, we answer several questions of Reed and Wood on embedding sparse minors. Among others, $\bullet$ $(1+o(1))t^2$ average degree is sufficient to force the $t imes t$ grid as a topological minor; $\bullet$ $(3/2+o(1))t$ average degree forces every $t$-vertex planar graph as a minor, and the constant $3/2$ is optimal, furthermore, surprisingly, the value is the same for $t$-vertex graphs embeddable on any fixed surface; $\bullet$ a universal bound of $(2+o(1))t$ on average degree forcing every $t$-vertex graph in any nontrivial minor-closed family as a minor, and the constant 2 is best possible by considering graphs with given treewidth.

研究の動機と目的

• スパースで有界次数の二部グラフ（やや分離性の高い条件を満たすもの）の部分分割を強制するために必要な正確な漸近的平均次数の閾値を特定すること。
• リードとウッドが提起した、スパースマイナーの埋め込みに関する未解決問題を解消すること。特に $ t \times t $ グリッドおよび平面グラフに関する問題を対象とする。
• 任意の非自明なマイナー閉じた族に属するすべての $ t $ 頂点グラフをマイナーとして強制するための普遍的定数を確立し、その最適性を分析すること。
• 従来のトポロジカルマイナーおよびマイナーに関する極値密度の結果を統合・拡張すること。

提案手法

• 二部グラフに対して $ \beta $-分離性の概念を導入し、頂点の削除によって成分のサイズを制限できるようにし、部分分割の帰納的構成を可能にする。
• 確率的および極値グラフ技法を適用して、平均次数 $ d $ のグラフが、$ |H| \to (1-\beta)d $ および $ \bigtriangleup(H) \to \bigtriangleup $ を満たす $ \beta $-分離性を持つ任意の $ H $ の部分分割を含むことを示す。
• 平面的および曲面埋め込みグラフの構造を活用し、二部グラフの部分分割構成と面分割の議論によりタイトな境界を導出する。
• 色数とマイナー閉じた族に関する既知の結果を応用し、色数 $ \rho $ を持つマイナー閉じた族に対して $ d_{\text{min}} = (2 - 2/\rho + o(1))t $ の形の境界を導出する。
• 既知の $ K_t $-マイナーやトポロジカルマイナーに関する極値結果を活用し、漸近的境界における主要係数を補正する。
• 面サイクルと1因子分解に対する二重数え上げ法を用いて、平面グラフにおける部分分割サイズの境界の最適性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの程度の最小平均次数が $ t \times t $ グリッドを位相的マイナーとして強制するか？
• RQ2 すべての $ t $ 頂点の平面グラフをマイナーとして強制する平均次数の定数 $ 3/2 $ は最適であり、任意の固定された曲面上に埋め込めるグラフに対しても同様に成り立つか？
• RQ3 すべての非自明なマイナー閉じた族に属する $ t $ 頂点グラフをマイナーとして強制するための普遍的定数 $ c $ を確立でき、$ c = 2 $ が最良の可能性があるか？
• RQ4 どのグラフ $ G $ に対して $ |2\alpha(G) - \alpha_2(G)| = o(|G|) $ が成り立ち、これは極値マイナー密度とどのように関係するか？
• RQ5 マイナー閉じた族 $ \mathcal{F} $ に対して、$ d_{\text{min}} = (2 - 2/\chi(\mathcal{F}) + o(1))t $ の境界が成り立つか？特に、直積に関して閉じていない族に対しても成り立つか？

主な発見

• $ t \times t $ グリッドを位相的マイナーとして強制するには、平均次数 $ (1+o(1))t^2 $ が十分かつ必要である。
• すべての $ t $ 頂点の平面グラフをマイナーとして強制するには、平均次数 $ (3/2+o(1))t $ が必要であり、定数 $ 3/2 $ は最適である。同様の境界は、任意の固定された曲面上に埋め込めるグラフに対しても成り立つ。
• 任意の非自明なマイナー閉じた族に属するすべての $ t $ 頂点グラフをマイナーとして強制するには、平均次数 $ (2+o(1))t $ で十分であり、定数 2 は最良である。木幅に基づく極値構成により、これが示されている。
• 任意の $ \beta $-分離性を持つ二部グラフ $ H $ について、$ |H| \to (1-\beta)d $ および $ \bigtriangleup(H) \to \bigtriangleup $ を満たすとき、$ G $ の平均次数 $ d $ が $ H $ の部分分割を保証する。この境界は漸近的にタイトである。
• マイナー閉じた族 $ \mathcal{F} $ に対して、$ d_{\text{min}} = (2 - 2/\chi(\mathcal{F}) + o(1))t $ の境界は成り立ち、特に直積に関して閉じた族ではタイトである。
• リンクレスに埋め込めるグラフのクラスは、$ d_{\text{min}} = (8/5 + o(1))t $ を満たし、一般の $ 2t $ の境界よりも厳密に小さい定数を持つことを示している。